Задание 7 ЕГЭ по математике (профиль): вычисления и преобразования

Задание 7 профильного ЕГЭ по математике — это вычисления и преобразования выражений. В одном задании попадается выражение со степенями и корнями ( $\dfrac{4^{5{,}1}}{8^{2{,}4}}$ ), логарифмами ( $\log_{10}8+\log_{10}125$ ) или тригонометрией ( $3\cos 2\alpha$ при заданном $\sin\alpha$ ). Никакого уравнения решать не нужно — надо упростить и посчитать, опираясь на свойства степеней, логарифмов и тригонометрические тождества. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. За задание дают 1 первичный балл по принципу «всё или ничего», а средний процент выполнения высокий, так что это обязательный к закрытию балл. В статье — что именно проверяют, все нужные свойства и формулы, пошаговый алгоритм, разбор шести реальных заданий из банка ФИПИ и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 7 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 7

Задание проверяет владение техникой преобразований: умение распознать тип выражения и применить «свои» свойства. По сути это набор формул, доведённый до автоматизма. Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

действовать со степенями: умножать, делить, возводить степень в степень, переходить к общему основанию;
работать с корнями как со степенями с дробным показателем;
применять свойства логарифмов: сумму, разность, вынос показателя, переход к новому основанию;
преобразовывать тригонометрические выражения через основное тождество, формулы двойного угла и формулы приведения;
аккуратно доводить выражение до числа и записывать ответ.

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Базовый
Формат ответа	Целое число или конечная десятичная дробь
Раздел	Вычисления и преобразования (степени и корни, логарифмы, тригонометрия)
Рекомендуемое время	2–4 минуты
Связанные задания	6 (простейшие уравнения), 13 (тригонометрические уравнения)

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 7 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа и разбором. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 7

Как выглядит формулировка

ФИПИ даёт короткую формулировку: «Найдите значение выражения …». В тригонометрических заданиях добавляют условие — заданное значение синуса или косинуса и иногда четверть угла. Примеры:

«Найдите значение выражения $\dfrac{6^{9{,}4}}{36^{3{,}2}}$ ».
«Найдите значение выражения $\log_3 1{,}8 + \log_3 5$ ».
«Найдите $\operatorname{tg} x$ , если $\cos x = \dfrac{5\sqrt{26}}{26}$ при $x\in[0;\pi]$ ».

Что нужно знать

Весь банк задания 7 закрывают три блока формул: свойства степеней и корней, свойства логарифмов и тригонометрические тождества. Разберём каждый.

Степени и корни

Базовые свойства степеней:

a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},\quad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},\quad (a^{m})^{n}=a^{mn},\quad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}

Корень — это степень с дробным показателем, поэтому он подчиняется тем же правилам:

\sqrt[n]{a^{m}}=a^{m/n},\qquad (\sqrt{a})^{2}=a\ (a\ge 0)

Главный приём — привести всё к одному основанию. Например, $8=2^3$ , $36=6^2$ , $81=3^4$ — тогда степени складываются и вычитаются по показателям.

Логарифмы

Логарифм $\log_a b$ — это показатель степени, в которую надо возвести $a$ , чтобы получить $b$ . Основные свойства (при $a>0,\ a\neq 1,\ x,y>0$ ):

\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\qquad \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y

\log_a x^{k}=k\log_a x,\qquad \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a},\qquad a^{\log_a b}=b

Полезные значения: $\log_a 1=0$ , $\log_a a=1$ . Сумма логарифмов сворачивается в логарифм произведения — часто после этого получается $\log_a a^{k}=k$ .

Тригонометрические выражения

Основное тригонометрическое тождество:

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Формулы двойного угла:

\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1,\qquad \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha

Знак $\sin$ , $\cos$ и $\operatorname{tg}$ определяется четвертью: на $[0;\pi]$ синус неотрицателен, на $[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}]$ — косинус. Формулы приведения сдвигают угол на $\tfrac{\pi}{2}$ или $\pi$ .

Основные типы заданий 7

В банке ФИПИ задание 7 распадается на четыре устойчивых типа. Узнав тип, вы сразу знаете нужный набор формул:

Выражения со степенями

$\dfrac{4^{5{,}1}}{8^{2{,}4}}$ . Приводим к одному основанию, складываем и вычитаем показатели.

Иррациональные выражения

$\dfrac{(6\sqrt{7})^{2}}{9}$ . Возводим в степень, сокращаем; корень — это степень $1/2$ .

Логарифмические выражения

$\log_{10}8+\log_{10}125$ . Сворачиваем сумму в логарифм произведения.

Тригонометрические выражения

$3\cos 2\alpha$ при $\sin\alpha=0{,}2$ . Через формулу двойного угла переходим к $\sin\alpha$ .

Алгоритм решения задания 7

Определите тип выражения. Степени и корни — работаем с показателями; $\log$ — свойства логарифмов; $\sin,\cos,\operatorname{tg}$ — тригонометрические тождества.
Приведите к общему виду. Степени — к одному основанию; логарифмы — сверните сумму/разность; тригонометрию — выразите через одну функцию по формуле двойного угла или основному тождеству.
Упростите. Сократите показатели, выделите $\log_a a^{k}=k$ , подставьте заданное значение $\sin\alpha$ или $\cos\alpha$ .
Учтите четверть (для тригонометрии). Если по условию указан промежуток для угла — определите знак функции, чтобы не потерять минус.
Доведите до числа и запишите ответ. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь; дробь через запятую, без пробелов.

Забываете свойства логарифмов?

Прорешайте по 10 заданий каждого типа подряд — свойства степеней, логарифмов и формулы двойного угла быстро становятся автоматическими. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Выражение со степенями

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите значение выражения $\dfrac{4^{5{,}1}}{8^{2{,}4}}$ .

Решение:

Приводим к одному основанию: $4=2^2$ и $8=2^3$ . Тогда $4^{5{,}1}=2^{10{,}2}$ и $8^{2{,}4}=2^{7{,}2}$ , а при делении показатели вычитаются:

\frac{2^{10{,}2}}{2^{7{,}2}}=2^{10{,}2-7{,}2}=2^{3}=8

Ответ: 8. Главное — увидеть, что 4 и 8 — это степени двойки.

Пример 2. Корни (иррациональное выражение)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt[3]{36}\cdot\sqrt[5]{36}}{\sqrt[30]{36}}$ .

Решение:

Запишем корни как степени с дробным показателем основания $36$ и сложим/вычтем показатели:

\frac{36^{1/3}\cdot 36^{1/5}}{36^{1/30}}=36^{\,\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{30}}

Считаем показатель: $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{30}=\frac{10+6-1}{30}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$ . Значит,

36^{1/2}=\sqrt{36}=6

Ответ: 6. Все действия — это сложение дробей в показателе.

Пример 3. Иррациональное выражение со скобкой

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите значение выражения $\dfrac{(6\sqrt{7})^{2}}{9}$ .

Решение:

Возводим произведение в квадрат: каждый множитель — в квадрат, и $(\sqrt{7})^{2}=7$ :

(6\sqrt{7})^{2}=6^{2}\cdot(\sqrt{7})^{2}=36\cdot 7=252

Делим на 9: $\dfrac{252}{9}=28$ . Ответ: 28.

Пример 4. Логарифм: сумма логарифмов

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите значение выражения $\log_{10}8+\log_{10}125$ .

Решение:

Сумма логарифмов с одинаковым основанием — логарифм произведения:

\log_{10}8+\log_{10}125=\log_{10}(8\cdot 125)=\log_{10}1000

Так как $1000=10^{3}$ , получаем $\log_{10}10^{3}=3$ . Ответ: 3.

Пример 5. Логарифм: переход к новому основанию

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_{3}25}{\log_{3}5}$ .

Решение:

Отношение логарифмов с одним основанием — это логарифм по формуле перехода: $\dfrac{\log_3 25}{\log_3 5}=\log_5 25$ . А $25=5^{2}$ , поэтому

\log_5 25=\log_5 5^{2}=2

Ответ: 2. Можно и иначе: $\log_3 25=\log_3 5^{2}=2\log_3 5$ , тогда дробь сразу даёт 2.

Пример 6. Тригонометрия: формула двойного угла

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите значение выражения $3\cos 2\alpha$ , если $\sin\alpha=0{,}2$ .

Решение:

Берём ту форму двойного угла, где есть только синус: $\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ . Подставляем $\sin\alpha=0{,}2$ :

3\cos 2\alpha=3\bigl(1-2\cdot 0{,}2^{2}\bigr)=3\bigl(1-2\cdot 0{,}04\bigr)=3\cdot 0{,}92=2{,}76

Ответ: 2,76. Удобно, что значение синуса нам и не понадобилось искать отдельно — всё выражается через $\sin^2\alpha$ .

Типичные ошибки и ловушки

Не привести к одному основанию

Без перехода к общему основанию степени и корни не упрощаются. Держите в голове разложения: $4=2^2,\ 8=2^3,\ 27=3^3,\ 36=6^2,\ 125=5^3$ .

Путать свойства логарифмов

$\log_a(x+y)$ — это не $\log_a x+\log_a y$ . Сумма логарифмов сворачивается в логарифм произведения, а не суммы.

Выбрать неудобную формулу двойного угла

Если дан синус — берите $\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ ; если косинус — $2\cos^2\alpha-1$ . Тогда не придётся искать вторую функцию.

Потерять знак из-за четверти

Когда по найденному $\sin^2\alpha$ извлекаете $\sin\alpha$ , помните про $\pm$ и выбирайте знак по указанному промежутку для угла.

Ошибки в записи ответа

Дробь записывают через запятую ( $2{,}76$ , а не «2.76» или «69/25»). Знак минуса не теряйте.

Чем задание 7 связано с другими

Задание 7 — это арсенал преобразований для всей профильной математики. Свойства степеней и логарифмов напрямую нужны в задании 6 (показательные и логарифмические уравнения), а тригонометрические тождества и формулы двойного угла — в задании 13 (тригонометрические уравнения с отбором корней). Доведя технику задания 7 до автоматизма, вы не только закрываете гарантированный балл первой части, но и снимаете половину трудностей в развёрнутых заданиях.

Задание 6: простейшие уравнения Решать задание 7 онлайн

План подготовки на неделю

Дни 1–4 — по типу выражения в день

Разберите блоки по одному: день 1 — степени (разложения $2,3,5,6$ в степени наизусть), день 2 — корни как дробные степени, день 3 — логарифмы (сумма, разность, переход к новому основанию), день 4 — тригонометрия (основное тождество и формулы двойного угла). Каждый день решайте по 10–12 однотипных заданий, пока формулы не станут автоматическими.

Дни 5–7 — вперемешку и тригонометрия с четвертью

Решайте задания всех типов вперемешку, чтобы тренировать распознавание типа. Отдельно отработайте тригонометрические задачи с указанным промежутком для угла, где важно не потерять знак. После каждой серии разбирайте ошибки на Repet.ai и следите за аккуратной записью ответа.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 7 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1 балл, любой другой — 0. Уровень базовый, поэтому это обязательный к закрытию балл.

Четыре типа: выражения со степенями, иррациональные выражения (с корнями), логарифмические выражения и тригонометрические выражения. В конкретном варианте попадается одно выражение одного из этих типов.

Приведите все степени к одному основанию, а затем складывайте показатели при умножении и вычитайте при делении. Например, 4^5,1 / 8^2,4 = 2^10,2 / 2^7,2 = 2^3 = 8.

Логарифму произведения: log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy). Например, log10(8) + log10(125) = log10(1000) = 3. Это не равно логарифму суммы.

Используйте формулу двойного угла cos 2α = 1 − 2 sin²α — в ней есть только синус. Например, при sin α = 0,2: 3 cos 2α = 3(1 − 2·0,04) = 3·0,92 = 2,76.

Чтобы однозначно определить знак функции. Когда из sin²α или cos²α извлекают корень, появляется ±, и промежуток для угла (например, x ∈ [0; π]) подсказывает, какой знак выбрать.

Да. На Repet.ai в разделе ЕГЭ по математике загружены задания 7 из открытого банка ФИПИ. Вы решаете задание онлайн, сразу видите, верный ли ответ, и можете разобрать решение по шагам.

Готовы закрыть задание 7 на автомате?

Вычисления и преобразования — это предсказуемый балл первой части: всё держится на свойствах степеней, логарифмов и нескольких тригонометрических формулах. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и за неделю доведёте навык до автоматизма.

Тренировать задание 7 Далее: задание 8 Все задания ЕГЭ по математике