Задание 6 ЕГЭ по математике (профиль): простейшие уравнения

Задание 6 профильного ЕГЭ по математике — это простейшие уравнения. В одном задании может попасться показательное ( $4^{x-7}=\tfrac{1}{64}$ ), логарифмическое ( $\log_2(x+2)=3$ ), иррациональное ( $\sqrt{5x+11}=4$ ), рациональное или степенное уравнение. Все они решаются за пару строк, если знать один приём для каждого типа: привести к общему основанию, перейти по определению логарифма, возвести в квадрат, «крест-накрест». Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, которое записывается в бланк. За задание дают 1 первичный балл по принципу «всё или ничего», а средний процент выполнения — около 95%, так что это обязательный к закрытию балл. В статье — что именно проверяют, метод для каждого типа уравнения, роль ОДЗ и отбора корней, пошаговый алгоритм, разбор шести реальных заданий из банка ФИПИ и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 6 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 6

Задание проверяет умение решать простейшие уравнения разных видов и при необходимости отбирать корни. По сути это «техника»: распознать тип уравнения и применить стандартный приём. Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

решать показательные уравнения, приводя обе части к одному основанию;
решать логарифмические уравнения по определению логарифма и приравнивая аргументы;
решать иррациональные уравнения возведением в степень с проверкой корней;
решать линейные, квадратные, кубические и дробно-рациональные уравнения;
учитывать ОДЗ и правильно отбирать корни (наибольший / наименьший).

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Базовый
Формат ответа	Целое число или конечная десятичная дробь
Раздел	Уравнения (показательные, логарифмические, иррациональные, рациональные, степенные)
Рекомендуемое время	2–4 минуты
Связанные задания	13 (тригонометрические уравнения, часть 2)

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 6 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа и разбором. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 6

Как выглядит формулировка

ФИПИ даёт короткую формулировку: «Найдите корень уравнения …» или «Решите уравнение …». Иногда добавляют оговорку про отбор корня — «если корней несколько, в ответе запишите наибольший (наименьший)». Примеры:

«Найдите корень уравнения $9^{2-x}=81$ ».
«Найдите корень уравнения $\log_3(x+9)=4$ ».
«Решите уравнение $\sqrt{2x+3}=x$ . Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них».

Что нужно знать

Главное — узнать тип уравнения и применить «свой» приём. Разберём пять методов, которые закрывают почти весь банк задания 6.

Показательные уравнения

Приведите обе части к одному основанию и приравняйте показатели:

a^{f(x)} = a^{g(x)} \;\Longleftrightarrow\; f(x) = g(x), \quad a>0,\ a\neq 1

Полезно помнить степени: $\tfrac{1}{64}=4^{-3}$ , $125=5^{3}$ , $\tfrac{1}{a^{n}}=a^{-n}$ . Дробь и корень тоже сводятся к степени: $\sqrt[k]{a^{m}}=a^{m/k}$ .

Логарифмические уравнения

Если справа число — используйте определение логарифма:

\log_a f(x) = b \;\Longleftrightarrow\; f(x) = a^{b}, \quad f(x)>0

Если с обеих сторон логарифмы с одинаковым основанием — приравняйте аргументы (не забыв ОДЗ):

\log_a f(x) = \log_a g(x) \;\Longleftrightarrow\; f(x) = g(x) > 0

Аргумент логарифма обязан быть положительным — это и есть ОДЗ, по которой потом проверяют корень.

Иррациональные уравнения

Избавляемся от корня возведением в степень. Для квадратного корня:

\sqrt{f(x)} = g(x) \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} f(x) = g(x)^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}

Возведение в квадрат может добавить посторонние корни, поэтому условие $g(x)\ge 0$ (или подстановка в исходное уравнение) обязательно. Когда справа просто число $\ge 0$ , проверка элементарна.

Дробно-рациональные уравнения

Дробь равна числу или другой дроби — умножаем «крест-накрест», помня про ОДЗ (знаменатель $\neq 0$ ):

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \;\Longleftrightarrow\; a\,d = b\,c, \quad b,d \neq 0

После решения убедитесь, что найденный корень не обращает знаменатель в ноль.

Степенные, линейные и квадратные уравнения

Уравнение вида $(x-a)^n = b$ решается извлечением корня. Для нечётной степени корень один, для чётной — два ( $\pm$ ):

(x-a)^3 = b \;\Rightarrow\; x-a=\sqrt[3]{b}; \qquad (x-a)^2 = b \;\Rightarrow\; x-a=\pm\sqrt{b}

Если в условии стоит «наибольший / наименьший корень» — значит, корней несколько и нужно выбрать нужный.

Основные типы заданий 6

В банке ФИПИ задание 6 распадается на пять устойчивых типов. Узнав тип, вы сразу знаете нужный приём:

Показательные

$4^{x-7}=\tfrac{1}{64}$ . Сводим к одному основанию, приравниваем показатели.

Логарифмические

$\log_2(x+2)=3$ . По определению логарифма: $x+2=2^3$ .

Иррациональные

$\sqrt{5x+11}=4$ . Возводим в квадрат, проверяем корень.

Дробно-рациональные

$\tfrac{1}{3x-4}=5$ . «Крест-накрест», следим за ОДЗ знаменателя.

Степенные и квадратные

$(x-5)^3=64$ или $(2x+7)^2=(2x-1)^2$ . Извлекаем корень или раскрываем скобки.

Алгоритм решения задания 6

Определите тип уравнения. Степень с переменной в показателе — показательное; $\log$ — логарифмическое; корень — иррациональное; дробь — рациональное; скобка в степени — степенное.
Выпишите ОДЗ. Аргумент логарифма $> 0$ , знаменатель $\neq 0$ , подкоренное выражение $\ge 0$ . Это пригодится для отбора корней.
Примените «свой» приём. Общее основание, определение логарифма, возведение в степень или «крест-накрест» — сведите уравнение к простому линейному или квадратному.
Решите и отберите корни. Отбросьте посторонние корни по ОДЗ. Если просят «наибольший / наименьший» — выберите нужный.
Проверьте и запишите ответ. Подставьте корень в исходное уравнение. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь; запятая, без пробелов.

Путаете типы уравнений?

Прорешайте по 10 заданий каждого вида подряд — приёмы «к одному основанию», «по определению логарифма», «возвести в квадрат» быстро становятся автоматическими. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Показательное уравнение

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите корень уравнения $4^{x-7}=\dfrac{1}{64}$ .

Решение:

Приводим правую часть к основанию 4: $\tfrac{1}{64}=4^{-3}$ . Получаем равенство степеней с одинаковым основанием — приравниваем показатели:

4^{x-7}=4^{-3} \;\Rightarrow\; x-7=-3 \;\Rightarrow\; x=4

Ответ: 4. Главное — узнать, что $64=4^3$ , тогда дробь становится $4^{-3}$ .

Пример 2. Логарифмическое уравнение

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите корень уравнения $\log_2(x+2)=3$ .

Решение:

По определению логарифма $\log_2(x+2)=3$ означает, что $x+2=2^3$ :

x+2=8 \;\Rightarrow\; x=6

Ответ: 6. Проверка ОДЗ: $x+2=8>0$ — корень подходит.

Пример 3. Иррациональное уравнение

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите корень уравнения $\sqrt{5x+11}=4$ .

Решение:

Правая часть $4 \ge 0$ , поэтому можно возвести обе части в квадрат:

5x+11=16 \;\Rightarrow\; 5x=5 \;\Rightarrow\; x=1

Ответ: 1. Подкоренное выражение $5\cdot 1+11=16\ge 0$ — корень верный.

Пример 4. Кубическое уравнение

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите корень уравнения $(x-5)^3=64$ .

Решение:

Степень нечётная, поэтому корень один. Представим $64=4^3$ и извлечём кубический корень:

(x-5)^3=4^3 \;\Rightarrow\; x-5=4 \;\Rightarrow\; x=9

Ответ: 9. Для нечётной степени знак не двоится — второй корень не появляется.

Пример 5. Дробно-рациональное уравнение

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите корень уравнения $\dfrac{1}{3x-4}=5$ .

Решение:

Дробь равна числу — умножаем «крест-накрест» (знаменатель $3x-4\neq 0$ ):

1 = 5(3x-4) \;\Rightarrow\; 15x-20=1 \;\Rightarrow\; 15x=21 \;\Rightarrow\; x=1{,}4

Ответ: 1,4. Проверяем ОДЗ: $3\cdot 1{,}4-4=0{,}2\neq 0$ — корень подходит.

Пример 6. Иррациональное уравнение с отбором корня

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Решите уравнение $\sqrt{2x+3}=x$ . Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них.

Решение:

Справа стоит $x$ , а корень неотрицателен, поэтому обязательно $x\ge 0$ . Возводим в квадрат:

2x+3=x^2 \;\Rightarrow\; x^2-2x-3=0 \;\Rightarrow\; (x-3)(x+1)=0

Корни уравнения-следствия: $x=3$ и $x=-1$ . Условие $x\ge 0$ отсекает $x=-1$ — это посторонний корень. Остаётся $x=3$ .

Ответ: 3. Несмотря на оговорку «наименьший», подходящий корень всего один — её цель в том, чтобы вы не вписали посторонний $-1$ .

Типичные ошибки и ловушки

Забыть про посторонние корни

Возведение в квадрат и переход к уравнению-следствию могут дать лишние корни. Всегда проверяйте их по ОДЗ или подстановкой.

Игнорировать ОДЗ логарифма и знаменателя

Аргумент логарифма обязан быть $> 0$ , знаменатель — $\neq 0$ . Корень, нарушающий ОДЗ, в ответ не идёт.

Перепутать направление в показателе

В $\left(\tfrac{1}{5}\right)^{4-x}=5$ легко ошибиться со знаком. Запишите $\tfrac{1}{5}=5^{-1}$ и аккуратно раскройте показатель: $5^{-(4-x)}=5^1$ .

Не отобрать нужный корень

Если в условии «запишите наибольший / наименьший», корней несколько. Выпишите все, отсейте посторонние и выберите требуемый.

Ошибки в записи ответа

Дробь записывают через запятую ( $1{,}4$ , а не «1.4» или «7/5»). Знак минуса не теряйте: $\log_2(8-x)=5$ даёт $x=-24$ .

Чем задание 6 связано с другими

Задание 6 — это база техники решения уравнений для всей профильной математики. Те же приёмы (общее основание, определение логарифма, ОДЗ, отбор корней) в полном объёме нужны в задании 13 — там решают тригонометрические и смешанные уравнения с отбором корней на отрезке. Освоив задание 6, вы закрываете гарантированный балл первой части и одновременно готовите фундамент для развёрнутых заданий второй части. Поэтому к нему стоит относиться не как к «лёгкому пункту», а как к тренировке аккуратности: ОДЗ, проверка корней, запись ответа.

Задание 5: теоремы о вероятностях Решать задание 6 онлайн

План подготовки на неделю

Дни 1–4 — по типу уравнения в день

Разберите типы по одному: день 1 — показательные (степени $2,3,5$ наизусть), день 2 — логарифмические (определение логарифма), день 3 — иррациональные (возведение в квадрат + проверка), день 4 — рациональные и степенные. Каждый день решайте по 10–12 однотипных заданий, пока приём не станет автоматическим.

Дни 5–7 — вперемешку и отбор корней

Решайте задания всех типов вперемешку, чтобы тренировать главный навык — распознавание типа. Отдельно отработайте задачи с оговоркой «наибольший / наименьший корень» и обязательной проверкой ОДЗ. После каждой серии разбирайте ошибки на Repet.ai и следите за аккуратной записью ответа.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 6 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1 балл, любой другой — 0. Уровень базовый, средний процент выполнения около 95%, поэтому это обязательный к закрытию балл.

Показательные, логарифмические, иррациональные, дробно-рациональные, а также линейные, квадратные и кубические (степенные). В конкретном варианте попадается одно уравнение одного из этих типов.

Приведите обе части к одному основанию и приравняйте показатели: a^f = a^g равносильно f = g (при a > 0, a ≠ 1). Например, 4^(x−7) = 1/64 = 4^(−3), значит x − 7 = −3 и x = 4.

Возведение в степень и переход к уравнению-следствию могут добавить посторонние корни. ОДЗ (аргумент логарифма > 0, знаменатель ≠ 0, подкоренное выражение ≥ 0) и подстановка в исходное уравнение помогают отсеять лишние корни.

Это значит, что корней может быть несколько. Найдите все корни, отбросьте посторонние по ОДЗ, а из оставшихся выберите тот, который требуется в условии (наибольший или наименьший).

Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Дробную часть пишут через запятую (например, 1,4), без пробелов; знак минуса не теряют (например, −24).

Да. На Repet.ai в разделе ЕГЭ по математике загружены задания 6 из открытого банка ФИПИ. Вы решаете задание онлайн, сразу видите, верный ли ответ, и можете разобрать решение по шагам.

Готовы закрыть задание 6 на автомате?

Простейшие уравнения — это самый предсказуемый балл первой части: всё держится на пяти приёмах и аккуратной проверке корней. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и за неделю доведёте навык до автоматизма.

Тренировать задание 6 Назад: задание 5 Все задания ЕГЭ по математике