Задание 11 ЕГЭ по математике (профиль): графики функций

Задание 11 профильного ЕГЭ по математике — это чтение графика функции. На рисунке изображён график функции известного вида (прямая, парабола, гипербола, показательная или логарифмическая кривая), у которой неизвестны коэффициенты. По отмеченным на графике точкам с целыми координатами нужно восстановить формулу — найти эти коэффициенты — и затем вычислить требуемое значение: $f(x_0)$ , абсциссу точки пересечения и т. п. По сути задача в два шага: «прочитать» с рисунка пару удобных точек и решить простейшее уравнение относительно параметра. За задание дают 1 первичный балл по принципу «всё или ничего», ответ — целое число или конечная десятичная дробь. В статье — что проверяют, какие виды функций встречаются и как для каждого читается коэффициент, пошаговый алгоритм, разбор реальных заданий из банка ФИПИ и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 11 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 11

Задание проверяет, умеете ли вы связывать график и формулу функции: узнавать функцию по виду её графика, снимать координаты точек и по ним находить параметры. Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

по виду графика определять тип функции (линейная, квадратичная, обратная пропорциональность, показательная, логарифмическая);
снимать с рисунка координаты точек, через которые проходит график — выбирать узлы сетки с целыми координатами;
подставлять координаты в общую формулу и находить неизвестные коэффициенты ( $k$ , $b$ , $a$ , $c$ );
вычислять значение функции в заданной точке или решать уравнение $f(x)=g(x)$ для точек пересечения двух графиков.

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Базовый
Формат ответа	Целое число или конечная десятичная дробь
Раздел	Функции и графики (восстановление формулы по графику)
Рекомендуемое время	3–5 минут
Связанные задания	6 (простейшие уравнения), 9 (формулы), 12 (исследование функций)

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 11 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа и разбором. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 11

Как выглядит формулировка

Условие почти всегда строится по одному шаблону: «На рисунке изображён график функции вида …» — дальше идёт общая формула с буквами- параметрами — и вопрос. Самые частые формулировки:

«На рисунке изображён график функции $f(x)=kx+b$ . Найдите значение $f(4)$ ».
«На рисунке изображён график функции $f(x)=ax^2+bx+c$ , где $a,b,c$ — целые. Найдите $f(-3)$ ».
«На рисунке изображены графики $f(x)=\frac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b$ , пересекающиеся в точках $A$ и $B$ . Найдите абсциссу точки $B$ ».

Главная мысль: тип функции уже назван в условии — вам не нужно угадывать, прямая это или парабола. Остаётся снять с графика координаты удобных точек и подставить их в формулу. Поэтому ключевой навык — аккуратно читать узлы координатной сетки.

Какие функции встречаются и как читать коэффициенты

В задании 11 встречается пять основных видов функций. Для каждого есть свой приём: какие точки удобнее снять и как из них выразить параметры.

Линейная: $f(x)=kx+b$

График — прямая. Свободный член $b$ — это ордината точки пересечения с осью $Oy$ (где $x=0$ ). Угловой коэффициент $k$ — это «шаг» прямой: на сколько поднимается $y$ при сдвиге на 1 вправо. По двум узлам $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$ :

k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Зная $k$ и $b$ , подставляем нужный $x$ и считаем $f(x)$ .

Квадратичная: $f(x)=ax^2+bx+c$

График — парабола. Удобнее всего снять три точки: чаще это два корня (где парабола пересекает ось $Ox$ ) и точка пересечения с осью $Oy$ (она сразу даёт $c$ ). Подставив три точки, получаем систему трёх уравнений на $a,b,c$ :

\begin{cases} y_1=ax_1^2+bx_1+c\\ y_2=ax_2^2+bx_2+c\\ y_3=ax_3^2+bx_3+c \end{cases}

Если видны корни $x_1,x_2$ , можно сразу писать $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ и находить $a$ по третьей точке — это быстрее.

Обратная пропорциональность: $f(x)=\frac{k}{x}$

График — гипербола (две ветви). Здесь всего один параметр $k$ , поэтому достаточно одной точки $(x_0;y_0)$ на графике:

k=x_0\cdot y_0

Если ветви в I и III четвертях — $k>0$ , если во II и IV — $k<0$ . Дальше $f(x)=\frac{k}{x}$ и подставляем нужный аргумент.

Показательная: $f(x)=a^{x}$

График всегда проходит через точку $(0;1)$ (ведь $a^0=1$ ), поэтому ищем вторую отмеченную точку $(x_0;y_0)$ . Основание находим из $a^{x_0}=y_0$ : чаще всего точка имеет вид $(1;a)$ , и тогда $a=y_0$ :

a^{1}=y_0\;\Rightarrow\; a=y_0,\qquad a^{-1}=y_0\;\Rightarrow\; a=\tfrac{1}{y_0}

Если функция убывает ( $0<a<1$ ), удобная точка обычно с отрицательной абсциссой, например $(-1;y_0)$ .

Логарифмическая: $f(x)=\log_a x$

График всегда проходит через точку $(1;0)$ (ведь $\log_a 1=0$ ), поэтому снова ищем вторую точку $(x_0;y_0)$ . Основание — из определения логарифма:

\log_a x_0=y_0\;\Leftrightarrow\; a^{y_0}=x_0

Чаще берут точку $(a;1)$ : её абсцисса прямо равна основанию. Логарифм — «зеркальное отражение» показательной функции относительно прямой $y=x$ .

Алгоритм решения задания 11

Определите тип функции. Он назван в условии — запишите общую формулу и отметьте, сколько в ней неизвестных параметров.
Снимите с графика точки. Выбирайте узлы сетки с целыми координатами — там, где кривая проходит точно через пересечение линий. Для гиперболы хватит одной точки, для линейной и показательной — двух, для параболы — трёх.
Найдите коэффициенты. Подставьте координаты в формулу и решите получившееся уравнение или систему относительно параметров.
Запишите формулу полностью — с уже найденными числами вместо букв. Полезно проверить её ещё на одной точке графика.
Ответьте на вопрос. Подставьте нужный $x$ и вычислите $f(x)$ ; для точек пересечения решите уравнение $f(x)=g(x)$ . Ответ — целое число или конечная десятичная дробь.

Главный навык — чтение точек

Решите подряд десяток заданий 11 — и научитесь мгновенно находить на графике «удобные» узлы сетки. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и пошаговый разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Линейная функция

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=kx+b$ . Найдите значение $f(4)$ .

График линейной функции y=kx+b, проходящий через отмеченные точки (0;1) и (1;3) — Прямая проходит через узлы (0;1) и (1;3): отсюда b=1 и k=2.

Решение:

График пересекает ось $Oy$ в точке $(0;1)$ , значит $b=1$ . Вторая удобная точка — $(1;3)$ . Находим угловой коэффициент:

k=\frac{3-1}{1-0}=2

Формула $f(x)=2x+1$ . Тогда $f(4)=2\cdot4+1=9$ . Ответ: 9.

Пример 2. Квадратичная функция (парабола)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=ax^2+bx+c$ , где числа $a,b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(-3)$ .

График квадратичной функции — парабола с корнями в точках (1;0) и (2;0) и пересечением оси ординат в (0;2) — Парабола пересекает ось x в точках 1 и 2, ось y — в точке 2.

Решение:

С графика снимаем три точки: корни $(1;0)$ и $(2;0)$ и точку на оси $Oy$ — $(0;2)$ . Последняя сразу даёт $c=2$ . Подставляем корни:

\begin{cases} a+b+2=0\\ 4a+2b+2=0 \end{cases}

Из первого $b=-a-2$ . Подставляем во второе: $4a+2(-a-2)+2=0$ , то есть $2a-2=0$ , откуда $a=1$ и $b=-3$ .

Формула $f(x)=x^2-3x+2$ . Тогда $f(-3)=9+9+2=20$ . Ответ: 20.

Пример 3. Обратная пропорциональность (гипербола)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=\frac{k}{x}$ . Найдите значение $f(30)$ .

График обратной пропорциональности y=k/x — гипербола, проходящая через точку (3;1) — Гипербола проходит через узел (3;1): отсюда k=3.

Решение:

Параметр всего один, поэтому достаточно одной точки. График проходит через узел $(3;1)$ , значит $k=x_0\cdot y_0=3\cdot1=3$ и $f(x)=\frac{3}{x}$ .

Тогда $f(30)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}=0{,}1$ . Ответ: 0,1.

Пример 4. Показательная функция

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=a^{x}$ . Найдите значение $f(5)$ .

График показательной функции y=a^x, проходящий через точки (0;1) и (1;2) — Показательная функция всегда проходит через (0;1); здесь ещё и через (1;2).

Решение:

Любой график $y=a^x$ проходит через $(0;1)$ — эта точка ничего не даёт. Берём вторую отмеченную точку $(1;2)$ :

a^{1}=2\;\Rightarrow\; a=2

Формула $f(x)=2^{x}$ . Тогда $f(5)=2^{5}=32$ . Ответ: 32.

Пример 5. Логарифмическая функция

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=\log_a x$ . Найдите значение $f(32)$ .

График логарифмической функции y=log_a x, проходящий через точки (1;0) и (2;1) — Логарифм всегда проходит через (1;0); здесь ещё и через (2;1).

Решение:

График $y=\log_a x$ всегда проходит через $(1;0)$ , поэтому смотрим на вторую точку $(2;1)$ . По определению логарифма:

\log_a 2=1\;\Leftrightarrow\; a^{1}=2\;\Rightarrow\; a=2

Формула $f(x)=\log_2 x$ . Тогда $f(32)=\log_2 32=5$ (ведь $2^5=32$ ). Ответ: 5.

Пример 6. Точка пересечения двух графиков

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

На рисунке изображены графики функций вида $f(x)=\frac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b$ , пересекающиеся в точках $A$ и $B$ . Найдите абсциссу точки $B$ .

Графики гиперболы y=k/x и прямой y=ax+b, пересекающиеся в точках A и B — Гипербола y=k/x и прямая y=ax+b пересекаются в точках A и B.

Решение:

Сначала восстановим обе формулы. Гипербола проходит через $(2;3)$ , значит $k=2\cdot3=6$ и $f(x)=\frac{6}{x}$ . Прямая пересекает ось $Oy$ в $(0;-2)$ (это $b=-2$ ) и поднимается на 1 при сдвиге на 2, то есть $a=\frac{1}{2}$ : $g(x)=\frac{1}{2}x-2$ .

В точках пересечения $f(x)=g(x)$ :

\frac{6}{x}=\frac{1}{2}x-2\;\Big|\cdot 2x\;\Rightarrow\; 12=x^2-4x

Получаем квадратное уравнение $x^2-4x-12=0$ . По теореме Виета $x_1+x_2=4$ , $x_1 x_2=-12$ — это $x_1=-2$ и $x_2=6$ .

Точка $A$ лежит левее (её абсцисса $-2$ ), точка $B$ — правее. Значит абсцисса $B$ равна 6. Ответ: 6.

Типичные ошибки и ловушки

Снимать точки «на глаз», не по узлам сетки

Координаты надо читать там, где график проходит точно через пересечение линий сетки. Точка, взятая на глаз между клетками, даст нецелый коэффициент и неверный ответ.

Путать $k$ и $b$ у прямой

$b$ — это значение при $x=0$ (пересечение с осью $Oy$ ), а $k$ — наклон, отношение приращений. Не подставляйте ординату точки вместо наклона.

Ошибаться со знаком $k$ у гиперболы

Если ветви во II и IV четвертях — $k<0$ . Используйте точку с её настоящими знаками: $k=x_0 y_0$ сам подскажет знак.

Использовать «бесполезную» точку у показательной и логарифмической функции

$(0;1)$ для $a^x$ и $(1;0)$ для $\log_a x$ выполняются при любом основании и не дают $a$ . Берите вторую отмеченную точку.

Выбрать не ту точку пересечения

В задачах с двумя графиками уравнение даёт два корня. Посмотрите на рисунок: какая из точек, $A$ или $B$ , спрашивается, и левее она или правее.

Чем задание 11 связано с другими

Задание 11 опирается на знание видов функций и их графиков и на умение решать простейшие уравнения из задания 6 (линейные, квадратные, показательные, логарифмические). Навык «прочитать формулу по графику» — обратная сторона того, что нужно в задании 9 (там формула уже дана) и в задании 12 (исследование функции с помощью производной). Освоив задание 11, вы закрываете гарантированный балл и заодно прокачиваете понимание функций, без которого не обойтись во второй части.

Задание 9: прикладные задачи Задание 6: простейшие уравнения Решать задание 11 онлайн

План подготовки на неделю

Дни 1–5 — по виду функции в день

День 1 — линейная функция (чтение $k$ и $b$ ). День 2 — квадратичная (система по трём точкам и приём с корнями). День 3 — гипербола $k/x$ и знак $k$ . День 4 — показательная $a^x$ . День 5 — логарифмическая $\log_a x$ . Каждый день решайте по 8–10 однотипных заданий, отрабатывая чтение «удобной» точки.

Дни 6–7 — комбинированные задачи и работа над ошибками

Решайте задачи на точки пересечения двух графиков и смешанные задания всех типов вперемешку, чтобы по виду кривой мгновенно узнавать функцию. Отдельно следите за знаками и выбором нужной точки пересечения. После серии разбирайте ошибки на Repet.ai.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 11 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1 балл, любой другой — 0. Уровень базовый, поэтому это обязательный к закрытию балл.

Пять основных видов: линейная f(x)=kx+b, квадратичная f(x)=ax²+bx+c, обратная пропорциональность f(x)=k/x (гипербола), показательная f(x)=aˣ и логарифмическая f(x)=log_a x. Иногда на одном рисунке два графика, и нужно найти точку их пересечения.

Снимите с рисунка координаты точек, через которые проходит график (по узлам сетки с целыми координатами), и подставьте их в общую формулу. Для гиперболы достаточно одной точки, для линейной и показательной — двух, для параболы — трёх.

Потому что a⁰=1 при любом основании, поэтому y=aˣ всегда проходит через (0;1); и log_a 1=0, поэтому y=log_a x всегда проходит через (1;0). Эти точки не зависят от a и не дают его найти — нужно брать вторую отмеченную точку.

Если ветви расположены в I и III четвертях (там, где x и y одного знака), то k>0. Если во II и IV — k<0. Формула k=x₀·y₀ по любой точке графика сама даёт верный знак.

Да. На Repet.ai в разделе ЕГЭ по математике загружены задания 11 из открытого банка ФИПИ. Вы решаете задание онлайн, сразу видите, верный ли ответ, и можете разобрать решение по шагам.

Готовы закрыть задание 11 на автомате?

Чтение графика — предсказуемый балл первой части: узнайте тип функции, снимите с рисунка пару точек по узлам сетки, найдите коэффициенты и вычислите нужное значение. За разными кривыми прячется один и тот же приём «точка → коэффициент → ответ». На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и за неделю доведёте навык до автоматизма.

Тренировать задание 11 Назад: задание 9 Все задания ЕГЭ по математике

Задание 11 ЕГЭ по математике (профиль): графики функций

Что проверяет задание 11

Тренируйтесь на реальных заданиях

Как выглядит формулировка

Какие функции встречаются и как читать коэффициенты

Линейная: f(x)=kx+bf(x)=kx+bf(x)=kx+b

Квадратичная: f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c

Обратная пропорциональность: f(x)=kxf(x)=\frac{k}{x}f(x)=xk​

Показательная: f(x)=axf(x)=a^{x}f(x)=ax

Логарифмическая: f(x)=log⁡axf(x)=\log_a xf(x)=loga​x

Алгоритм решения задания 11

Главный навык — чтение точек

Примеры с разбором

Пример 1. Линейная функция

Пример 2. Квадратичная функция (парабола)

Пример 3. Обратная пропорциональность (гипербола)

Пример 4. Показательная функция

Пример 5. Логарифмическая функция

Пример 6. Точка пересечения двух графиков

Типичные ошибки и ловушки

Чем задание 11 связано с другими

План подготовки на неделю

Дни 1–5 — по виду функции в день

Дни 6–7 — комбинированные задачи и работа над ошибками

Проверьте себя на реальных заданиях

Часто задаваемые вопросы

Готовы закрыть задание 11 на автомате?

Линейная: $f(x)=kx+b$

Квадратичная: $f(x)=ax^2+bx+c$

Обратная пропорциональность: $f(x)=\frac{k}{x}$

Показательная: $f(x)=a^{x}$

Логарифмическая: $f(x)=\log_a x$