Ход решения:

Для нахождения экстремумов и исследования поведения функции вычислим её производную: \[y' = (101x - 99 \sin x + 63)' = 101 - 99 \cos x.\] Приравняем полученное выражение к нулю, чтобы найти критические точки: \[101 - 99 \cos x = 0 \implies \cos x = \frac{101}{99}.\] Так как значение \(\frac{101}{99}\) больше единицы, а область значений косинуса ограничена отрезком \([-1; 1]\), данное уравнение не имеет действительных корней.

Заметим, что производная \(y' = 101 - 99 \cos x\) всегда принимает положительные значения, поскольку максимальное значение вычитаемого \(99 \cos x\) равно \(99\), что меньше \(101\). Следовательно, функция \(y(x)\) является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Для монотонно возрастающей функции на заданном отрезке \([-\frac{\pi}{2}; 0]\) наибольшее значение достигается на его правой границе, то есть при \(x = 0\):

\[y(0) = 101 \cdot 0 - 99 \sin 0 + 63 = 0 - 0 + 63 = 63.\]

Ответ: 63

Источник: ФИПИ