Ход решения:

Для нахождения экстремумов функции сначала вычислим её производную и определим критические точки, решив уравнение \(y' = 0\):

\[y' = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 49) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 49}{x^2} = \frac{x^2 - 49}{x^2}\]

Приравняв числитель к нулю, получаем: \(\frac{x^2 - 49}{x^2} = 0\), откуда \(x^2 = 49\), то есть \(x = 7\) или \(x = -7\).

В рассматриваемый промежуток \([1; 19]\) попадает только корень \(x = 7\). Проанализируем поведение функции: при переходе через точку \(x = 7\) производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, на интервале \([1; 7]\) функция убывает, а на интервале \([7; 19]\) — возрастает.

Таким образом, точка \(x = 7\) является точкой минимума, и именно в ней функция принимает своё наименьшее значение на данном отрезке:

\(y(7) = \frac{7^2 + 49}{7} = \frac{49 + 49}{7} = \frac{98}{7} = 14.\)

Ответ: 14

Источник: ФИПИ