Решение:
Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и определим критические точки, решив уравнение \(y' = 0\):

\[y' = 1{,}5 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 9 = 1{,}5\sqrt{x} - 9\]

Приравняем полученное выражение к нулю: \(1{,}5\sqrt{x} = 9\), откуда \(\sqrt{x} = 6\), следовательно, \(x = 36\).

⟦IMG_0_placeholder_if_any_was_needed_but_not_provided_in_original_text_so_keeping_logic_consistent⟧

Проанализируем поведение функции на заданном отрезке. Используя метод интервалов для производной, заметим, что при \(x < 36\) производная отрицательна, а при \(x > 36\) — положительна. Таким образом, \(x = 36\) является точкой минимума. Функция убывает на промежутке \([1; 36]\) и начинает возрастать на \([36; 50]\).

Следовательно, своего наименьшего значения функция достигает именно в точке \(x = 36\):

\[y(36) = 36\sqrt{36} - 9 \cdot 36 + 25 = 36 \cdot 6 - 324 + 25 = 216 - 324 + 25 = -83.\]

Ответ: -83

Источник: ФИПИ