Разбор задачи:
Примем объём работы по прополке всей грядки за единицу. Из условия известно, что Настя справляется с этой задачей за 42 минуты, следовательно, скорость её работы составляет \(\frac{1}{42}\) грядки в минуту. Обозначим время, необходимое Кате для самостоятельной прополки, через \(x\) минут. В таком случае скорость работы Кати будет равна \(\frac{1}{x}\).

При совместном труде их общая производительность складывается. Зная, что вместе девочки справляются за 24 минуты, составим уравнение, связывающее общую работу, время и суммарную скорость:
\[\frac{1}{\frac{1}{42} + \frac{1}{x}} = 24\]
Преобразуем выражение, чтобы найти неизвестную величину:
\[\frac{1}{42} + \frac{1}{x} = \frac{1}{24}\]
Выразим долю работы, которую выполняет Катя за одну минуту:
\[\frac{1}{x} = \frac{1}{24} - \frac{1}{42}\]
Приведем дроби к общему знаменателю 168:
\[\frac{1}{x} = \frac{7}{168} - \frac{4}{168} = \frac{3}{168}\]
Сократим полученную дробь:
\[\frac{1}{x} = \frac{1}{56}\]
Отсюда получаем, что \(x = 56\). Таким образом, Кате потребуется 56 минут, чтобы прополоть грядку в одиночку.

Ответ: 56

Источник: ФИПИ