Решение:
Для нахождения критических точек вычислим производную заданной функции, используя правило дифференцирования произведения:

\[y' = \left( (x + 8)^2 \right)' \cdot e^{3 - x} + (x + 8)^2 \cdot \left( e^{3 - x} \right)'\]

Применяя формулу производной сложной функции, получаем:
\(y' = 2(x + 8) \cdot 1 \cdot e^{3 - x} + (x + 8)^2 \cdot e^{3 - x} \cdot (-1)\)
\(y' = 2(x + 8)e^{3 - x} - (x + 8)^2 e^{3 - x}\)

Вынесем общий множитель \(e^{3 - x}\) за скобки:
\(y' = e^{3 - x} \left( 2(x + 8) - (x + 8)^2 \right)\)

Приравняем производную к нулю для поиска стационарных точек:
\(e^{3 - x} (2(x + 8) - (x + 8)^2) = 0\)

Так как показательная функция \(e^{3 - x}\) всегда принимает положительные значения, уравнение сводится к анализу выражения в скобках:
\(2(x + 8) - (x + 8)^2 = 0\)
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\(2x + 16 - (x^2 + 16x + 64) = 0\)
\(-x^2 - 14x - 48 = 0\)
Умножим обе части на \(-1\):
\(x^2 + 14x + 48 = 0\)

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
\(D = 14^2 - 4 \cdot 48 = 196 - 192 = 4\)
Находим корни:
\(x_1 = \frac{-14 + 2}{2} = -6\)
\(x_2 = \frac{-14 - 2}{2} = -8\)

Проанализируем знаки производной на числовой прямой и определим характер изменения функции:

Исходя из схемы, при переходе через точку \(x = -6\) производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, искомая точка максимума — это \(x = -6\).

Ответ: -6

Источник: ФИПИ