Ход решения:
Дана функция: \(y = \frac{- x}{x^{2} + 256}\)

Для поиска экстремумов вычислим производную данной функции по правилу дифференцирования частного:
\(y' = \left( \frac{-x}{x^2 + 256} \right)' = \frac{(-x)' \cdot (x^2 + 256) - (-x) \cdot (x^2 + 256)'}{(x^2 + 256)^2}\)
Раскроем скобки в числителе:
\(y' = \frac{-1 \cdot (x^2 + 256) + x \cdot 2x}{(x^2 + 256)^2} = \frac{-x^2 - 256 + 2x^2}{(x^2 + 256)^2} = \frac{x^2 - 256}{(x^2 + 256)^2}\)

Приравняем полученную производную к нулю, чтобы найти критические точки:
\(\frac{x^2 - 256}{(x^2 + 256)^2} = 0\)

Заметим, что выражение в знаменателе \((x^2 + 256)^2\) всегда строго больше нуля при любых значениях \(x\), поэтому оно не влияет на знак дроби. Достаточно решить уравнение для числителя:
\(x^2 - 256 = 0\)
\(x^2 = 256\)
Отсюда получаем корни: \(x_1 = 16\) и \(x_2 = -16\).

Проанализируем знаки производной на числовой прямой и определим характер изменения функции:

Согласно схеме, при переходе через точку \(x = 16\) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это и есть искомая точка минимума.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ