Ход решения:

Дана функция: \(y = ( 2 x - 3 ) \cdot \cos x - 2 \sin x + 2\)

Для исследования функции на экстремумы вычислим её производную, используя правило дифференцирования произведения:
\[y' = (2x - 3)' \cdot \cos x + (2x - 3) \cdot (\cos x)' - (2 \sin x)' + (2)'\] \[y' = 2 \cdot \cos x + (2x - 3) \cdot (-\sin x) - 2 \cos x + 0\] После упрощения выражения (взаимного уничтожения \(2 \cos x\) и \(-2 \cos x\)) получаем:
\(y' = -(2x - 3) \sin x\)

Далее определим критические точки, приравняв производную к нулю:
\(-(2x - 3) \sin x = 0\)
Это уравнение распадается на два случая:
1) \(2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1{,}5\)
2) \(\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}\)
Рассматривая заданный интервал \((0; 2\pi)\), мы находим корень \(x = 1{,}5\) и корень \(x = \pi\).

Проанализируем знаки производной на числовой прямой и определим характер изменения функции:

Согласно схеме, при переходе через значение \(x = 1{,}5\) производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, искомая точка максимума: \(x = 1{,}5\).

Ответ: 1,5

Источник: ФИПИ