Разбор задания:
Дана функция: \(y = \ln (x + 4)^2 + 2x + 7\).

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
\((x + 4)^2 > 0\).
Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому условие нарушается только при \(x + 4 = 0\).
Следовательно, \(x \neq -4\).

Для поиска экстремумов вычислим производную заданной функции:
\(y' = \left( \ln (x + 4)^2 \right)' + (2x)' + (7)'\).
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
\(y' = \frac{1}{(x + 4)^2} \cdot 2(x + 4) + 2 = \frac{2}{x + 4} + 2\).

Приравняем полученную производную к нулю, чтобы найти критические точки:
\(\frac{2}{x + 4} + 2 = 0\).
Перенесем двойку в правую часть уравнения:
\(\frac{2}{x + 4} = -2\).
Отсюда следует:
\(-2(x + 4) = 2\),
\(x + 4 = -1\),
\(x = -5\).

Проанализируем знаки производной на числовой прямой и определим характер изменения функции, не забывая про точку разрыва \(x = -4\):

Как видно из схемы, при переходе через точку \(x = -5\) производная меняет знак с плюса на минус. Значит, искомая точка максимума — это \(x = -5\).

Ответ: -5

Источник: ФИПИ