Решение:
Для начала преобразуем данное неравенство, используя свойства логарифмов:
\(\log _{5} ( ( 3 - x ) ( x^{2} + 2 ) ) \geq \log _{5} ( ( 3 - x ) ( 4 - x ) ) + \log _{5} ( 5 - x )\)
Разложим логарифмы произведений на суммы:
\(\log _{5} ( 3 - x ) + \log _{5} ( x^{2} + 2 ) \geq \log _{5} ( 3 - x ) + \log _{5} ( 4 - x ) + \log _{5} ( 5 - x ) .\)
Найдём область допустимых значений. Выражения под логарифмами должны быть положительными, что в данном случае сводится к условию \(x < 3\). При соблюдении этого ограничения слагаемое \(\log _{5} ( 3 - x )\) определено, и его можно взаимно уничтожить в обеих частях неравенства:
\(\log _{5} ( x^{2} + 2 ) \geq \log _{5} ( ( 4 - x ) ( 5 - x ) ) .\)
Так как основание логарифма \(5 > 1\), переходим к сравнению аргументов с сохранением знака:
\(x^{2} + 2 \geq ( 4 - x ) ( 5 - x ) ;\)
Раскроем скобки в правой части:
\(x^{2} + 2 \geq x^{2} - 9 x + 20 ;\)
Приведём подобные слагаемые и решим линейное неравенство:
\(9 x \geq 18 \implies x \geq 2 .\)
Сопоставив полученный результат с условием \(x < 3\), находим искомый промежуток: \(2 \leq x < 3\).

Правильное и обоснованное решение — 2 балла
Если в ответе ошибочно исключена точка 2 или допущена одна арифметическая ошибка при верном алгоритме действий — 1 балл
В остальных случаях, не подходящих под критерии выше — 0 баллов

Ответ: \([ 2 ; 3 )\)

Источник: ФИПИ