Разбор задачи:
Исходное уравнение \(\frac{\left|4 x\right| - x - 3 - a}{x^{2} - x - a} = 0\) равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель отличен от него:
\[\begin{cases} a = |4x| - x - 3 \\ a \neq x^2 - x \end{cases}\] Для решения воспользуемся графическим методом в координатной плоскости \((x; a)\).
1) Построим «выколотую» линию, заданную уравнением \(a = x^2 - x\). Это парабола с вершиной в точке: \(x_{0} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0,5\); \(a_{0} = (0,5)^2 - 0,5 = -0,25\).

x	-1	0	0,5	1	2
a	2	0	-0,25	0	2

2) Построим график функции \(a = |4x| - x - 3\), раскрыв модуль по определению:
Если \(x \geq 0\), то \(a = 4x - x - 3 = 3x - 3\).
Если \(x < 0\), то \(a = -4x - x - 3 = -5x - 3\).

x (для \(x \geq 0\))	0	1
a	-3	0

x (для \(x < 0\))	0	-1
a	-3	2

Найдем точки пересечения графиков числителя и знаменателя, чтобы исключить их из решения (в этих точках дробь не определена):
1) Пересечение с правой ветвью (\(x \geq 0\)):
\(\begin{cases} a = x^2 - x \\ a = 3x - 3 \end{cases} \Rightarrow x^2 - x = 3x - 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0\)
Корни: \(x_1 = 3\) (тогда \(a = 6\)) и \(x_2 = 1\) (тогда \(a = 0\)).

2) Пересечение с левой ветвью (\(x < 0\)):
\(\begin{cases} a = x^2 - x \\ a = -5x - 3 \end{cases} \Rightarrow x^2 - x = -5x - 3 \Rightarrow x^2 + 4x + 3 = 0\)
Корни: \(x_3 = -3\) (тогда \(a = 12\)) и \(x_4 = -1\) (тогда \(a = 2\)).

Уравнение имеет ровно два решения, когда горизонтальная прямая \(a = \text{const}\) пересекает график \(a = |4x| - x - 3\) в двух точках, не совпадающих с точками пересечения с параболой.
График «галочки» имеет минимум в точке \((0; -3)\). При \(a > -3\) прямая всегда пересекает график в двух точках. Исключаем значения \(a\), при которых одна из точек становится «выколотой»: \(0, 2, 6, 12\).

Ответ: \((-3; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 6) \cup (6; 12) \cup (12; +\infty)\)

Источник: ФИПИ