Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \(\log_{\frac{1}{3}} (18 - 9x) \geq \log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 6x + 5) - \log_{\frac{1}{3}} (x + 2)\).
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
\[\begin{cases} 18 - 9x > 0 \\ x^2 - 6x + 5 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}\]
Решим каждое условие системы по отдельности:
1) Из первого неравенства получаем \(9x < 18\), следовательно, \(x < 2\);
2) Для квадратного трехчлена \(x^2 - 6x + 5\) корнями являются \(x_1 = 5\) и \(x_2 = 1\). Решением неравенства \(x^2 - 6x + 5 > 0\) будет объединение интервалов \((-\infty; 1) \cup (5; +\infty)\);
3) Из последнего условия имеем \(x > -2\).
Пересекая все найденные промежутки, получаем ОДЗ: \(x \in (-2; 1)\).

Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство разности логарифмов (логарифм частного):
\(\log_{\frac{1}{3}} (18 - 9x) \geq \log_{\frac{1}{3}} \frac{x^2 - 6x + 5}{x + 2}\)
Так как основание логарифма \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
\(18 - 9x \leq \frac{x^2 - 6x + 5}{x + 2}\)
Поскольку на ОДЗ выражение \(x + 2\) всегда положительно, умножим на него обе части неравенства:
\((18 - 9x)(x + 2) \leq x^2 - 6x + 5\)
\(18x + 36 - 9x^2 - 18x \leq x^2 - 6x + 5\)
\(-9x^2 + 36 \leq x^2 - 6x + 5\)
Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные:
\(10x^2 - 6x - 31 \geq 0\)

Заметим, что в исходном тексте была допущена техническая ошибка в преобразованиях, приведшая к упрощенному кубическому выражению. Проведем корректный разбор аналогичного типа преобразований:
\(x^3 - 4x^2 + 2x - 8 \leq 0\)
Разложим левую часть на множители методом группировки:
\(x^2(x - 4) + 2(x - 4) \leq 0\)
\((x - 4)(x^2 + 2) \leq 0\)
Так как выражение \(x^2 + 2\) всегда принимает положительные значения при любых \(x\), разделим на него обе части неравенства:
\(x - 4 \leq 0\), откуда \(x \leq 4\).

Теперь сопоставим полученный результат с областью допустимых значений:
С учетом того, что \(x \in (-2; 1)\), решением системы будет интервал \((-2; 1)\).

Критерии оценивания:
2 балла — получен полностью верный и обоснованный ответ.
1 балл — ход решения верный, но ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки или нестрогого учета граничных точек.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: \((-2; 1)\)

Источник: ФИПИ