Разбор задачи:
Необходимо найти значения параметра \(a\), при которых уравнение \(\frac{x^{2} - 2 x + a^{2} - 4 a}{x^{2} - a} = 0\) имеет ровно два различных корня.

Перейдем к равносильной системе, учитывая область допустимых значений (знаменатель не равен нулю):
\[\begin{cases} x^{2} - 2 x + a^{2} - 4 a = 0 \\ a \neq x^{2} \end{cases}\] Преобразуем уравнение числителя, выделив полные квадраты для переменных \(x\) и \(a\):
\(x^{2} - 2 x + 1 + a^{2} - 4 a + 4 = 1 + 4\)
\((x - 1)^{2} + (a - 2)^{2} = 5\)

Проанализируем полученные условия в системе координат \((x; a)\):
1) Условие \(a \neq x^{2}\) означает, что искомые точки не должны лежать на параболе с вершиной в начале координат \((0; 0)\).
2) Уравнение \((x - 1)^{2} + (a - 2)^{2} = 5\) задает окружность с центром в точке \(C(1; 2)\) и радиусом \(R = \sqrt{5}\).

Для определения «выколотых» точек найдем пересечения окружности и параболы, подставив \(a = x^{2}\) в уравнение числителя:
\(x^{2} - 2 x + (x^{2})^{2} - 4x^{2} = 0\)
\(x^{4} - 3x^{2} - 2x = 0\)
Вынесем общий множитель и разложим выражение на множители:
\(x(x^{3} - 3x - 2) = 0\)
\(x(x^{3} - x - 2x - 2) = 0\)
\(x(x(x-1)(x+1) - 2(x+1)) = 0\)
\(x(x+1)(x^{2} - x - 2) = 0\)
Корни данного уравнения:
\(x_1 = 0 \Rightarrow a_1 = 0^{2} = 0\);
\(x_2 = -1 \Rightarrow a_2 = (-1)^{2} = 1\);
Для квадратного трехчлена \(x^{2} - x - 2 = 0\) получаем корни \(x = 2\) и \(x = -1\) (повтор).
При \(x_3 = 2 \Rightarrow a_3 = 2^{2} = 4\).

Уравнение имеет два корня в тех случаях, когда горизонтальная прямая \(a = \text{const}\) пересекает окружность в двух точках, не являющихся точками пересечения с параболой.
Окружность расположена в полосе по \(a\) от \(2 - \sqrt{5}\) до \(2 + \sqrt{5}\). Исключаем значения \(a\), соответствующие точкам пересечения с параболой (\(0, 1, 4\)), а также крайние точки (где только одно решение).
Искомые интервалы для \(a\):
\(( 2 - \sqrt{5} ; 0 ) \cup ( 0 ; 1 ) \cup ( 1 ; 4 ) \cup ( 4 ; 2 + \sqrt{5} )\)

Ответ: \(( 2 - \sqrt{5} ; 0 ) \cup ( 0 ; 1 ) \cup ( 1 ; 4 ) \cup ( 4 ; 2 + \sqrt{5} )\)

Источник: ФИПИ