Решение:
Для начала установим область определения функции. Логарифм существует только при положительном значении аргумента, следовательно, \(x - 9 > 0\), то есть \(x > 9\). Таким образом, мы работаем на интервале \((9; +\infty)\).
Найдем производную заданной функции:
\[f'(x) = ( \ln(x - 9) - 10x + 7 )' = \frac{1}{x - 9} - 10.\]
Для поиска критических точек приравняем полученную производную к нулю:
\(\frac{1}{x - 9} - 10 = 0\);
\(\frac{1}{x - 9} = 10\);
\(10(x - 9) = 1\);
\(10x - 90 = 1\);
\(10x = 91\);
\(x = 9{,}1.\)
Полученное значение \(x = 9{,}1\) входит в область определения и является единственным нулем производной. Проанализируем поведение функции, определив знаки \(f'(x)\) на промежутках:
— если \(9 < x < 9{,}1\), то производная положительна (\(f'(x) > 0\)), и функция возрастает;
— если \(x > 9{,}1\), то производная отрицательна (\(f'(x) < 0\)), и функция убывает.
Так как при переходе через точку \(x = 9{,}1\) знак производной меняется с плюса на минус, данная точка является точкой максимума.

Ответ: 9,1

Источник: ФИПИ