Решение:
Для начала преобразуем исходное неравенство: \[\frac{4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 1} + 4}{2^{x} - 5} + \frac{3 \cdot 2^{x + 1} - 46}{2^{x} - 8} \leq 2^{x} + 5\] Используя свойства степеней, запишем \(4^x\) как \((2^x)^2\) и \(2^{x+1}\) как \(2 \cdot 2^x\): \[\frac{(2^{x})^{2} - 6 \cdot 2^{x} + 4}{2^{x} - 5} + \frac{6 \cdot 2^{x} - 46}{2^{x} - 8} \leq 2^{x} + 5\] Введем вспомогательную переменную, пусть \(2^{x} = t\), где \(t > 0\). Тогда неравенство примет вид: \[\frac{t^{2} - 6t + 4}{t - 5} + \frac{6t - 46}{t - 8} - (t + 5) \leq 0\] Приведем все слагаемые к общему знаменателю \((t - 5)(t - 8)\): \[\frac{(t - 8)(t^{2} - 6t + 4) + (t - 5)(6t - 46) - (t + 5)(t - 5)(t - 8)}{(t - 5)(t - 8)} \leq 0\] Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: \[\frac{t^3 - 6t^2 + 4t - 8t^2 + 48t - 32 + 6t^2 - 46t - 30t + 230 - (t^2 - 25)(t - 8)}{(t - 5)(t - 8)} \leq 0\] После упрощения числителя получаем: \[\frac{t - 2}{(t - 5)(t - 8)} \leq 0\] Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:
Таким образом, переменная \(t\) должна удовлетворять условиям: \(t \in (-\infty; 2] \cup (5; 8)\). Учитывая, что \(t = 2^x > 0\), перейдем к обратной замене: \[\left[ \begin{gathered} 2^x \leq 2 \\ \begin{cases} 2^x > 5 \\ 2^x < 8 \end{cases} \end{gathered} \right.\] Логарифмируем обе части неравенств по основанию 2: \[\left[ \begin{gathered} x \leq 1 \\ \begin{cases} x > \log_{2} 5 \\ x < 3 \end{cases} \end{gathered} \right.\] Объединим полученные промежутки для \(x\):

Ответ: \((-\infty; 1] \cup (\log_{2} 5; 3)\)

Источник: ФИПИ