Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \(x^{2} \log _{625} \left(6 - x\right) \leq \log _{5} \left(x^{2} - 12 x + 36\right)\).
Преобразуем основания логарифмов и выражения под ними: \(x^{2} \log _{5^{4}} \left(6 - x\right) \leq \log _{5} \left(x - 6\right)^{2}\).
Вынесем показатели степеней за знаки логарифмов: \(\frac{x^{2}}{4} \log _{5} \left(6 - x\right) \leq 2 \log _{5} \left|x - 6\right|\).
С учетом того, что аргумент логарифма должен быть положителен, получаем \(6 - x > 0\), а значит, \(\left|x - 6\right| = 6 - x\). Тогда: \(\frac{x^{2}}{4} \log _{5} \left(6 - x\right) \leq 2 \log _{5} \left(6 - x\right)\).
Определим область допустимых значений (ОДЗ):
\(\begin{cases} 6 - x > 0 \\ (x - 6)^{2} > 0 \end{cases} \Rightarrow x < 6\).
Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:
\(\frac{x^{2}}{4} \log _{5} \left(6 - x\right) - 2 \log _{5} \left(6 - x\right) \leq 0\).
Вынесем общий множитель за скобки:
\(\log _{5} \left(6 - x\right) \left(\frac{x^{2}}{4} - 2\right) \leq 0\).
Для удобства умножим выражение во второй скобке на 4:
\(\log _{5} \left(6 - x\right) \left(x^{2} - 8\right) \leq 0\).
Применим метод рационализации для логарифмического множителя и разложим разность квадратов:
\((5 - 1) (6 - x - 1) (x - \sqrt{8}) (x + \sqrt{8}) \leq 0\).
Упростим выражение:
\(4 (5 - x) (x - 2\sqrt{2}) (x + 2\sqrt{2}) \leq 0\).
Решим полученное неравенство методом интервалов:

Теперь найдем пересечение полученного решения с условием \(x < 6\):

Ответ: \([-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}] \cup [5; 6)\)

Источник: ФИПИ