Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \(\frac{\log _{2} ( 4 x^{2} ) + 35}{\log _{2}^{2} x - 36} \geq - 1\).
Начнём с области допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным, то есть \(x > 0\).
Преобразуем числитель, используя свойства логарифма произведения и степени: \(\log_{2}(4x^2) = \log_{2}4 + \log_{2}x^2 = 2 + 2\log_{2}x\).
Тогда выражение примет вид: \(\frac{2 + 2\log_{2}x + 35}{\log_{2}^{2} x - 36} \geq - 1\).
Для упрощения вычислений введём новую переменную \(t = \log_{2} x\).
Получаем рациональное неравенство:
\(\frac{2t + 37}{t^2 - 36} + 1 \geq 0\);
Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{2t + 37 + t^2 - 36}{t^2 - 36} \geq 0\);
\(\frac{t^2 + 2t + 1}{t^2 - 36} \geq 0\).
Разложим числитель по формуле квадрата суммы, а знаменатель — по разности квадратов:
\(\frac{(t + 1)^2}{(t - 6)(t + 6)} \geq 0\).
Решим полученное неравенство методом интервалов:

Анализируя знаки на числовой прямой, получаем совокупность условий для \(t\):
\(t \in (-\infty; -6) \cup \{-1\} \cup (6; +\infty)\).
Перейдём обратно к переменной \(x\):
\(\left[\begin{matrix} \log_{2} x < -6 \\ \log_{2} x = -1 \\ \log_{2} x > 6 \end{matrix}\right.\)
Учитывая, что логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, получаем:
\(\left[\begin{matrix} x < 2^{-6} \\ x = 2^{-1} \\ x > 2^6 \end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left[\begin{matrix} x < \frac{1}{64} \\ x = \frac{1}{2} \\ x > 64 \end{matrix}\right.\)
С учётом условия \(x > 0\), запишем итоговый интервал.

Ответ: \(\left(0; \frac{1}{64}\right) \cup \left\{\frac{1}{2}\right\} \cup (64; +\infty)\)

Источник: ФИПИ