Решение:
Рассмотрим неравенство: \(\log _{2}^{2} ( x^{2} - 9 ) - 9 \log _{2} ( x^{2} - 9 ) + 20 \geq 0\)
Для начала определим область допустимых значений переменной. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
\(x^{2} - 9 > 0\)
Разложим на множители: \((x - 3)(x + 3) > 0\)

Следовательно, \(x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\).

Введем новую переменную, пусть \(\log _{2} (x^{2} - 9) = t\). Тогда исходное выражение примет вид квадратного неравенства:
\(t^{2} - 9t + 20 \geq 0\)
Найдем корни соответствующего уравнения \(t^2 - 9t + 20 = 0\). По теореме Виета получаем: \(t_{1} = 4\), \(t_{2} = 5\).
Решим неравенство относительно \(t\):

Перейдем к обратной замене. Получаем совокупность двух условий:
\(\left[\begin{matrix} t \leq 4 \\ t \geq 5 \end{matrix}\right.\)
Подставим логарифмическое выражение вместо \(t\):
\(\left[\begin{matrix} \log _{2} (x^{2} - 9) \leq 4 \\ \log _{2} (x^{2} - 9) \geq 5 \end{matrix}\right.\)

1) Решим первое неравенство совокупности:
\(\log _{2} (x^{2} - 9) \leq 4\)
Так как основание логарифма \(2 > 1\), знак неравенства сохраняется:
\(x^{2} - 9 \leq 2^4 \Rightarrow x^{2} - 9 \leq 16\)
\(x^{2} \leq 25\)

Отсюда \(x \in [-5; 5]\).

2) Решим второе неравенство совокупности:
\(\log _{2} (x^{2} - 9) \geq 5\)
\(x^{2} - 9 \geq 2^5 \Rightarrow x^{2} - 9 \geq 32\)
\(x^{2} \geq 41\)

Отсюда \(x \in (-\infty; -\sqrt{41}] \cup [\sqrt{41}; +\infty)\).

Теперь найдем пересечение полученных решений с ОДЗ:

Ответ: \((-\infty; -\sqrt{41}] \cup [-5; -3) \cup (3; 5] \cup [\sqrt{41}; +\infty)\)

Источник: ФИПИ