Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \[\frac{\log _{2} 32 x}{\log _{2} x - 5} + \frac{\log _{2} x - 5}{\log _{2} 32 x} \geq \frac{\log _{2} x^{16} + 18}{\log _{2}^{2} x - 25}\] Найдём область допустимых значений переменной. Исходя из определения логарифма, аргумент должен быть положительным: \(x > 0\).
Преобразуем логарифмы, используя свойства произведения и степени: \[\frac{\log _{2} 32 + \log _{2} x}{\log _{2} x - 5} + \frac{\log _{2} x - 5}{\log _{2} 32 + \log _{2} x} \geq \frac{16 \log _{2} |x| + 18}{(\log _{2} x - 5)(\log _{2} x + 5)}\] Так как \(32 = 2^5\), а при \(x > 0\) модуль \(|x| = x\), получаем: \[\frac{5 + \log _{2} x}{\log _{2} x - 5} + \frac{\log _{2} x - 5}{5 + \log _{2} x} \geq \frac{16 \log _{2} x + 18}{\log _{2}^{2} x - 25}\] Для упрощения вычислений введём новую переменную \(t = \log _{2} x\). Тогда неравенство примет вид: \[\frac{t + 5}{t - 5} + \frac{t - 5}{t + 5} \geq \frac{16 t + 18}{t^2 - 25}\] Перенесём всё в левую часть и приведём дроби к общему знаменателю \((t - 5)(t + 5)\): \[\frac{(t + 5)^2 + (t - 5)^2 - (16t + 18)}{(t - 5)(t + 5)} \geq 0\] Раскроем скобки в числителе: \[\frac{t^2 + 10t + 25 + t^2 - 10t + 25 - 16t - 18}{(t - 5)(t + 5)} \geq 0\] \[\frac{2t^2 - 16t + 32}{(t - 5)(t + 5)} \geq 0\] Разделим числитель на 2 и заметим формулу квадрата разности: \[\frac{(t - 4)^2}{(t + 5)(t - 5)} \geq 0\] Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Перейдём к совокупности условий для переменной \(t\): \[\left[\begin{matrix} t < -5 \\ t = 4 \\ t > 5 \end{matrix}\right.\] Выполним обратную подстановку, заменяя \(t\) на \(\log _{2} x\): \[\left[\begin{matrix} \log _{2} x < -5 \\ \log _{2} x = 4 \\ \log _{2} x > 5 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} x < 2^{-5} \\ x = 2^4 \\ x > 2^5 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} x < \frac{1}{32} \\ x = 16 \\ x > 32 \end{matrix}\right.\] С учётом условия \(x > 0\), отметим решения на числовой прямой:

Ответ: \(\left(0 ; \frac{1}{32}\right) \cup \{16\} \cup (32 ; +\infty)\)

Источник: ФИПИ