Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \(\log _{2^{3}} ( x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 ) \geq \log _{2} ( x^{2} - 1 ) - 5\).
Заметим, что выражение в первом логарифме представляет собой куб разности: \(\log _{2^{3}} (x - 1)^{3} \geq \log _{2} (x^{2} - 1) - \log _{2} 32\).
Используя свойства логарифма (вынесение показателей степени), упростим левую часть и перенесем константу: \(\frac{3}{3} \log _{2} (x - 1) + \log _{2} 32 \geq \log _{2} (x^{2} - 1)\).
Применим свойство суммы логарифмов: \(\log _{2} (32(x - 1)) \geq \log _{2} (x^{2} - 1)\).
Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной \(x\):
\(\begin{cases} (x - 1)^{3} > 0 \\ x^{2} - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - 1 > 0 \\ (x - 1)(x + 1) > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 1\).
Следовательно, \(x \in (1; +\infty)\).
Поскольку основание логарифма \(2 > 1\), логарифмическая функция возрастает, и мы переходим к сравнению аргументов с сохранением знака неравенства:
\(32(x - 1) \geq x^{2} - 1\).
Разложим разность квадратов в правой части и перенесем всё в одну сторону:
\(32(x - 1) - (x - 1)(x + 1) \geq 0\).
Вынесем общий множитель \((x - 1)\) за скобки:
\((x - 1)(32 - (x + 1)) \geq 0\),
\((x - 1)(31 - x) \geq 0\).
Найдем пересечение полученного решения с условием ОДЗ:

Ответ: \(x \in (1; 31]\)

Источник: ФИПИ