Решение:
Для нахождения полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды нам потребуется вычислить сумму площадей её основания (квадрата) и четырёх равных боковых граней (равнобедренных треугольников).
Воспользуемся стандартными формулами: площадь треугольника \(S_{\triangle} = \frac{1}{2} a \cdot h\) и площадь квадрата \(S_{осн} = a^{2}\).
Проанализируем одну из боковых граней пирамиды:
Поскольку пирамида правильная, боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники. Высота (апофема), проведённая из вершины к основанию, делит сторону основания пополам.

Исходя из условия, боковое ребро равно 13, а сторона основания — 10. Применим теорему Пифагора для поиска высоты боковой грани \(h\):
\(h = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12.\)
Теперь вычислим общую площадь поверхности пирамиды, сложив площади боковых граней и основания:
\(S_{полн} = 4 \cdot S_{\triangle} + S_{осн} = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \right) + 10^{2} = 240 + 100 = 340.\)

Ответ: 340

Источник: ФИПИ