Решение:
Для определения точек экстремума функции сначала вычислим её производную, используя правило дифференцирования произведения:
\(y' = ((x^2 + 16x + 64) \cdot e^{3-x})' = (2x + 16) \cdot e^{3-x} + (x^2 + 16x + 64) \cdot e^{3-x} \cdot (-1)\).
Вынесем общий множитель \(e^{3-x}\) за скобки и упростим выражение в них:
\(y' = e^{3-x} (2x + 16 - x^2 - 16x - 64) = e^{3-x} (-x^2 - 14x - 48)\).
Приравняем полученную производную к нулю. Так как показательная функция \(e^{3-x}\) всегда принимает положительные значения, достаточно решить квадратное уравнение:
\(-x^2 - 14x - 48 = 0\), что равносильно \(x^2 + 14x + 48 = 0\).
Воспользуемся теоремой Виета для поиска корней:
\(\begin{cases} x_1 + x_2 = -14 \\ x_1 \cdot x_2 = 48 \end{cases}\)
Отсюда находим критические точки: \(x_1 = -6\) и \(x_2 = -8\).
Определим знаки производной на числовой прямой:

Анализируя смену знаков производной с плюса на минус, делаем вывод, что искомая точка максимума — это \(x = -6\).

Ответ: -6

Источник: ФИПИ