Решение:
Дано неравенство: \(\frac{2^{3x} - 10 \cdot 2^{2x} + 17 \cdot 2^x - 8}{x} \geq 0\).
Сразу отметим область допустимых значений: знаменатель не может быть равен нулю, то есть \(x \neq 0\).
Для анализа числителя введем новую переменную \(t = 2^x\). Тогда выражение примет вид:
\(t^3 - 10t^2 + 17t - 8\).
Разложим этот многочлен на множители, группируя слагаемые:
\(t^3 - t^2 - 9t^2 + 9t + 8t - 8 = 0\)
\(t^2(t - 1) - 9t(t - 1) + 8(t - 1) = 0\)
\((t - 1)(t^2 - 9t + 8) = 0\)
Заметим, что корни квадратного трехчлена \(t^2 - 9t + 8\) — это \(1\) и \(8\). Следовательно:
\((t - 1)(t - 1)(t - 8) = 0\)
\((t - 1)^2(t - 8) = 0\).
Вернемся к исходной переменной \(x\):
\(\frac{(2^x - 1)^2(2^x - 8)}{x} \geq 0\).
Определим критические точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль:
1) \(2^x - 1 = 0 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x = 0\);
2) \(2^x - 8 = 0 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3\);
3) Знаменатель \(x = 0\).
Воспользуемся методом интервалов для полученного выражения:

Учитывая условие \(x \neq 0\), точка \(0\) будет выколотой. При \(x > 3\) выражение положительно, в точке \(x = 3\) происходит смена знака, а при переходе через \(x = 0\) знак не меняется, так как множитель \((2^x - 1)\) возведен в квадрат, но при этом \(x\) в знаменателе также меняет знак (суммарно знак выражения меняется). Проверив интервалы, получаем решение.

Ответ: \((-\infty; 0) \cup [3; +\infty)\)

Источник: ФИПИ