Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \[\frac{27^{x} - 9^{x + 1} + 3^{x + 3} - 27}{50 x^{2} - 110 x + 60{,}5} \geq 0\] Начнем с нахождения области допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в нуль:
\(50 x^{2} - 110 x + 60{,}5 \neq 0\)
Для удобства умножим выражение на \(2\):
\(100 x^{2} - 220 x + 121 \neq 0\)
Заметим здесь формулу квадрата разности:
\((10x - 11)^{2} \neq 0\)
Откуда получаем ограничение: \(x \neq 1{,}1\) (или \(x \neq \frac{11}{10}\)).

Поскольку знаменатель \((10x - 11)^{2}\) всегда положителен при \(x \neq 1{,}1\), знак всей дроби определяется знаком числителя. Перейдем к решению неравенства для числителя:
\(27^{x} - 9^{x + 1} + 3^{x + 3} - 27 \geq 0\)
Представим все степени через основание \(3\):
\(3^{3x} - 9 \cdot 3^{2x} + 27 \cdot 3^{x} - 27 \geq 0\)
Введем новую переменную \(t = 3^{x}\). Тогда выражение примет вид:
\(t^{3} - 9t^{2} + 27t - 27 \geq 0\)
Данное выражение является кубом разности \((t - 3)^{3}\). Получаем:
\((t - 3)^{3} \geq 0 \Rightarrow t \geq 3\)
Выполним обратную замену:
\(3^{x} \geq 3^{1}\)
Так как основание степени \(3 > 1\), то функция возрастает, и неравенство равносильно:
\(x \geq 1\)
Отобразим полученное решение на координатной прямой:

Теперь исключим из найденного промежутка точку \(x = 1{,}1\), в которой знаменатель не определен:

Ответ: \([1; 1{,}1) \cup (1{,}1; +\infty)\)

Источник: ФИПИ