Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \[\frac{27^{x + 1} - 3 \cdot 9^{x + 1} + 3^{x + 2} - 1}{50 x^{2} + 50 x + 12{,}5} \geq 0\] Найдём область допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в ноль:
\(50 x^{2} + 50 x + 12{,}5 \neq 0\)
Для удобства умножим выражение на \(2\):
\(100 x^{2} + 100 x + 25 \neq 0\)
Заметим формулу квадрата суммы:
\(\left(10 x + 5\right)^{2} \neq 0\)
Откуда получаем ограничение: \(x \neq - 0{,}5\).
Так как квадрат любого ненулевого числа положителен, знаменатель \((10x+5)^2\) всегда больше нуля при \(x \neq -0{,}5\). Следовательно, знак дроби зависит только от числителя:
\(27^{x + 1} - 3 \cdot 9^{x + 1} + 3^{x + 2} - 1 \geq 0\)
Преобразуем степени к основанию \(3\):
\(27 \cdot (3^3)^x - 3 \cdot 9 \cdot (3^2)^x + 9 \cdot 3^x - 1 \geq 0\)
\(27 \cdot 3^{3x} - 27 \cdot 3^{2x} + 9 \cdot 3^x - 1 \geq 0\)
Введем новую переменную \(t = 3^x\), где \(t > 0\). Получим кубическое неравенство:
\(27 t^{3} - 27 t^{2} + 9 t - 1 \geq 0\)
Свернем выражение по формуле куба разности \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\):
\(\left(3 t - 1\right)^{3} \geq 0\)
Данное условие равносильно \(3t - 1 \geq 0\). Выполним обратную подстановку:
\(3 \cdot 3^{x} - 1 \geq 0\)
\(3^{x+1} \geq 3^0\)
\(x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\).
Объединим полученное решение с условием \(x \neq - \frac{1}{2}\) на числовой прямой:

Ответ: \([ - 1 ; - 0{,}5 ) \cup ( - 0{,}5 ; + \infty)\)

Источник: ФИПИ