Разбор решения:
Для упрощения выражения введём новую переменную, положив \(3^{x} = t\) (где \(t > 0\)). В результате исходное неравенство примет вид:
\[\frac{2t}{t - 9} + \frac{t + 9}{t - 3} + \frac{84}{t^{2} - 12t + 27} \leq 0\] Заметим, что знаменатель третьей дроби раскладывается на множители как \((t - 9)(t - 3)\). Приведём все дроби к общему знаменателю:
\[\frac{2t(t - 3) + (t + 9)(t - 9) + 84}{(t - 9)(t - 3)} \leq 0\] Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые:
\[\frac{2t^{2} - 6t + t^{2} - 81 + 84}{(t - 9)(t - 3)} \leq 0\] \[\frac{3t^{2} - 6t + 3}{(t - 9)(t - 3)} \leq 0\] Вынесем общий множитель \(3\) и свернём числитель по формуле квадрата разности:
\[\frac{3(t - 1)^{2}}{(t - 9)(t - 3)} \leq 0\] Решим полученное рациональное неравенство относительно \(t\) методом интервалов:

Из чертежа видно, что неравенство выполняется при \(t = 1\) или при \(3 < t < 9\). Перейдём обратно к переменной \(x\):
\[\left[\begin{matrix} 3^{x} = 1 \\ 3 < 3^{x} < 9 \end{matrix}\right.\] Решая простейшие показательные уравнения и неравенства, получаем:
\[\left[\begin{matrix} x = 0 \\ 1 < x < 2 \end{matrix}\right.\]

Ответ: \(\{0\} \cup (1; 2)\)

Источник: ФИПИ