Решение:
Чтобы определить точку минимума заданной функции, сначала вычислим её производную и найдём критические точки, в которых производная обращается в нуль:
\(y' = (2x^2 - 38x + 38)' \cdot e^{x-25} + (2x^2 - 38x + 38) \cdot (e^{x-25})' =\)
\(y' = (4x - 38) \cdot e^{x-25} + (2x^2 - 38x + 38) \cdot e^{x-25} =\)
Вынесем общий множитель \(e^{x-25}\) за скобки:
\(y' = e^{x-25} (4x - 38 + 2x^2 - 38x + 38) = e^{x-25} (2x^2 - 34x)\).
Решим уравнение \(y' = 0\). Так как экспонента \(e^{x-25}\) всегда принимает только положительные значения, достаточно приравнять к нулю выражение в скобках:
\(2x^2 - 34x = 0\)
Разделим обе части на 2 и вынесем \(x\) за скобку:
\(x(x - 17) = 0\)
Отсюда получаем корни: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 17\).

Проанализировав знаки производной на числовой прямой, видим, что при переходе через значение \(x = 17\) производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, искомая точка минимума — это 17.

Ответ: 17

Источник: ФИПИ