Решение:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции и определим значения переменной, при которых она обращается в нуль:
\(y' = (2x^2 - 23x + 33\ln x + 21)' = 4x - 23 + \frac{33}{x}\)
Решим уравнение \(y' = 0\):
\(4x - 23 + \frac{33}{x} = 0\)
Приведя выражение к общему знаменателю (учитывая, что \(x > 0\) по области определения логарифма), получим квадратное уравнение:
\(4x^2 - 23x + 33 = 0\)
Найдём дискриминант:
\(D = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 33 = 529 - 528 = 1\)
Вычислим корни уравнения:
\(x = \frac{23 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 4} \implies x_1 = \frac{24}{8} = 3, \quad x_2 = \frac{22}{8} = 2,75 = \frac{11}{4}\)
Проанализируем знаки производной на числовой прямой методом интервалов:

Исходя из смены знака производной с минуса на плюс, делаем вывод, что \(x = 3\) является точкой минимума, в то время как \(x = \frac{11}{4}\) — точка максимума.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ