Решение:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции и определим значения переменной, при которых она обращается в нуль:
\(y' = (0,5x^2 - 21x + 110\ln x + 2)' = x - 21 + \frac{110}{x}\)
Решим уравнение \(y' = 0\):
\(x - 21 + \frac{110}{x} = 0\)
Приведя выражение к общему знаменателю (учитывая, что \(x > 0\) по области определения логарифма), получим квадратное уравнение:
\(x^{2} - 21x + 110 = 0\)
Воспользуемся теоремой Виета для поиска корней:
\(x_{1} + x_{2} = 21\)
\(x_{1} \cdot x_{2} = 110\)
Отсюда находим критические точки: \(x_{1} = 11\) и \(x_{2} = 10\).
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

Исходя из смены знака производной с плюса на минус, делаем вывод, что \(x = 10\) является точкой максимума. При переходе через \(x = 11\) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ