Решение:
Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке сначала вычислим её производную и определим критические точки:
\(y' = (10 \sin x - \frac{36}{\pi}x + 7)' = 10 \cos x - \frac{36}{\pi}\)
Приравняем полученное выражение к нулю: \(10 \cos x - \frac{36}{\pi} = 0\). Отсюда получаем, что \(\cos x = \frac{36}{10\pi} = \frac{3,6}{\pi}\).
Заметим, что так как \(\pi \approx 3,14\), то значение \(\frac{3,6}{\pi} > 1\). Следовательно, уравнение \(\cos x = \frac{3,6}{\pi}\) не имеет решений, и критических точек у функции нет.
Поскольку \(\cos x \le 1\), выражение \(10 \cos x\) всегда меньше \(\frac{36}{\pi} \approx 11,46\). Это означает, что производная \(y'\) отрицательна при любых значениях \(x\). Таким образом, функция \(y(x)\) монотонно убывает на всей области определения.
Так как функция убывает, своего наибольшего значения на отрезке \([-\frac{5\pi}{6}; 0]\) она достигает в левой границе указанного промежутка:
\(y(-\frac{5\pi}{6}) = 10 \sin(-\frac{5\pi}{6}) - \frac{36}{\pi} \cdot (-\frac{5\pi}{6}) + 7 = 10 \cdot (-\frac{1}{2}) + \frac{36 \cdot 5\pi}{6\pi} + 7 = -5 + 30 + 7 = 32.\)

Ответ: 32

Источник: ФИПИ