Решение:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции, используя правило дифференцирования произведения:
\(y' = (8x^2 - 40x + 40)' \cdot e^{x+4} + (8x^2 - 40x + 40) \cdot (e^{x+4})' =\) \((16x - 40)e^{x+4} + (8x^2 - 40x + 40)e^{x+4}\)
Вынесем общий множитель \(e^{x+4}\) за скобки и приведем подобные слагаемые:
\(y' = e^{x+4}(16x - 40 + 8x^2 - 40x + 40) = e^{x+4}(8x^2 - 24x)\)
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
\(e^{x+4}(8x^2 - 24x) = 0\)
Так как показательная функция \(e^{x+4}\) всегда принимает положительные значения, уравнение сводится к квадратному:
\(8x^2 - 24x = 0\)
Разложим левую часть на множители:
\(8x(x - 3) = 0\)
Отсюда получаем два корня:
\(x_1 = 0\) и \(x_2 = 3\)
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

Исходя из смены знака производной, точка \(x = 0\) является точкой максимума, а искомая точка минимума — это \(x = 3\).

Ответ: 3

Источник: ФИПИ