Разбор задачи:
Дано уравнение: \(\log _{2} \left(x + 5\right) = \log _{4} \left(1 - x\right)\).
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ), так как аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
\(\begin{cases} x + 5 > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases}\)
Отсюда получаем интервал: \(-5 < x < 1\).
Приведем логарифмы к общему основанию \(2\), используя свойство \(\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b\):
\(\log _{2} (x + 5) = \log _{2^2} (1 - x)\)
\(\log _{2} (x + 5) = \frac{1}{2} \log _{2} (1 - x)\)
Умножим обе части на \(2\) и внесем множитель в показатель степени аргумента:
\(2\log _{2} (x + 5) = \log _{2} (1 - x)\)
\(\log _{2} (x + 5)^2 = \log _{2} (1 - x)\)
Теперь перейдем к равенству подлогарифмических выражений:
\((x + 5)^2 = 1 - x\)
Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:
\(x^2 + 10x + 25 = 1 - x\)
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
\(x^2 + 11x + 24 = 0\)
Воспользуемся теоремой Виета для поиска корней квадратного уравнения:
\(\begin{cases} x_1 + x_2 = -11 \\ x_1 \cdot x_2 = 24 \end{cases}\)
Получаем два значения: \(x_1 = -8\) и \(x_2 = -3\).
Проверим корни на соответствие ОДЗ (\(-5 < x < 1\)):
Число \(-8\) не входит в этот промежуток, а число \(-3\) удовлетворяет условию.
Таким образом, решением является только \(x = -3\).

Ответ: -3

Источник: ФИПИ