Решение:
Вспомним геометрический смысл производной: значение \(f'(x)\) в конкретной точке совпадает с тангенсом угла наклона (угловым коэффициентом) касательной, проведённой к графику в этой точке. Проанализируем поведение функции в заданных точках:
1. В точках \(x = -1\) и \(x = 4\) график функции идёт вверх (функция возрастает). Это означает, что касательные в них образуют острый угол с положительным направлением оси абсцисс, а их угловые коэффициенты и, соответственно, производные — положительны.
2. В точках \(x = 2\) и \(x = 3\) график функции опускается (функция убывает). В этом случае касательные наклонены под тупым углом, а значения производной в данных точках будут отрицательными.
Теперь сравним положительные значения в точках \(x = -1\) и \(x = 4\):
Визуально заметно, что в точке \(x = -1\) график функции «круче» устремлен вверх, чем в точке \(x = 4\). Следовательно, касательная в \(x = -1\) имеет больший коэффициент наклона. Из этого следует, что наибольшее значение производной достигается именно при \(x = -1\).

Ответ: -1

Источник: ФИПИ