Решение:
Вспомним геометрический смысл производной: значение \(f'(x)\) в конкретной точке совпадает с угловым коэффициентом касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Проанализируем положение заданных точек:

Во-первых, в точках \(x = 3\) и \(x = 4\) функция \(f(x)\) возрастает. Это означает, что касательные в них наклонены под острым углом к оси абсцисс, а их угловые коэффициенты (и, соответственно, производные) принимают положительные значения.

Во-вторых, точки \(x = -2\) и \(x = -1\) расположены на участке убывания графика. Здесь касательные образуют тупой угол с положительным направлением оси \(Ox\), поэтому значения производной в этих точках будут отрицательными.

Для определения наименьшего значения сравним производные в точках \(x = -2\) и \(x = -1\):
Визуально заметно, что в точке \(x = -1\) график функции «падает» круче, чем в точке \(x = -2\). Это означает, что наклон касательной в \(x = -1\) более резкий, и её угловой коэффициент будет меньше (более глубокое отрицательное число). Таким образом, минимальное значение производная принимает именно при \(x = -1\).

Ответ: -1

Источник: ФИПИ