Разбор задания:
Для поиска точки максимума функции необходимо вычислить её производную и найти критические точки, в которых производная обращается в нуль:
\(y' = \frac{-2x + 2}{(2 + 2x - x^2) \ln 2}\)

Приравняем полученное выражение к нулю:
\(\frac{-2x + 2}{(2 + 2x - x^2) \ln 2} = 0\).
Проанализируем корни знаменателя (область определения логарифма):
\(2 + 2x - x^2 = 0\)
\(x^2 - 2x - 2 = 0\)
\(D = 4 - 4 \cdot (-2) = 12 = (2\sqrt{3})^2\)
Корни квадратного уравнения: \(x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2}\), то есть \(\left[\begin{matrix} x_1 = 1 + \sqrt{3} \\ x_2 = 1 - \sqrt{3} \end{matrix}\right.\)
Следовательно, уравнение для поиска экстремумов принимает вид:
\(\frac{-2(x - 1)}{(x - (1 + \sqrt{3}))(x - (1 - \sqrt{3})) \ln 2} = 0\)
Откуда получаем критическую точку \(x = 1\).
Воспользуемся методом интервалов для анализа знаков производной:

Исходя из схемы, точки \(x = 1 - \sqrt{3}\) и \(x = 1 + \sqrt{3}\) являются границами области определения (и точками минимума на краях), а в точке \(x = 1\) производная меняет знак с плюса на минус, что соответствует максимуму функции.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ