Решение:
Разберём условия задачи. Число делится на 75, если оно кратно 3 и 25 одновременно. Согласно признаку делимости на 25, число должно завершаться цифрами 00, 25, 50 или 75. Однако варианты с нулём (00 и 50) нам не подходят, так как в этом случае произведение всех цифр станет равным 0, что противоречит условию (оно должно быть в интервале от 55 до 65). По признаку делимости на 3, сумма всех цифр искомого числа должна быть кратна 3.
Рассмотрим два возможных случая окончания числа:
1) Число оканчивается на 75. Тогда произведение последних цифр равно \(7 \cdot 5 = 35\). Чтобы общее произведение цифр \(P\) находилось в границах \(55 < P < 65\), произведение первых двух цифр должно попадать в диапазон от \(\frac{55}{35} \approx 1{,}57\) до \(\frac{65}{35} \approx 1{,}86\). Среди целых чисел таких значений нет, поэтому этот случай невозможен.
2) Число оканчивается на 25. Произведение последних цифр составляет \(2 \cdot 5 = 10\). Тогда произведение первых двух цифр должно быть больше \(5{,}5\) (\(55 / 10\)) и меньше \(6{,}5\) (\(65 / 10\)). Единственное целое число в этом промежутке — 6. Число 6 как произведение двух цифр можно представить как \(1 \cdot 6\) или \(2 \cdot 3\).
Проверим сумму цифр для выполнения признака делимости на 3:
— Для цифр 1, 6, 2, 5 сумма равна \(1 + 6 + 2 + 5 = 14\) (не делится на 3).
— Для цифр 2, 3, 2, 5 сумма равна \(2 + 3 + 2 + 5 = 12\) (делится на 3).
Таким образом, искомыми числами могут быть 2325 или 3225.

Ответ: 2325 / 3225

Источник: ФИПИ