Решение:

Проанализируем движение рычага. Пусть отрезок \(AC\) изображает положение «журавля» изначально, а \(BD\) — после того, как его наклонили. Точка \(O\) является точкой опоры. Короткое плечо поднялось на высоту \(AH = 3\) м, а длинное плечо опустилось на искомую высоту \(CK\).

Сначала докажем подобие треугольников \(AOB\) и \(COD\). Так как плечи при вращении не меняют своей длины, то \(AO = BO\) и \(OC = OD\). Это означает, что треугольники равнобедренные, и углы при их основаниях равны. Учитывая, что вертикальные углы при вершине \(O\) равны (\(\angle AOB = \angle COD\)), получаем равенство всех углов в этих треугольниках: \(\angle OAB = \angle OBA = \angle OCD = \angle ODC\). Следовательно, \(\triangle AOB \sim \triangle COD\) по двум углам. Коэффициент подобия равен отношению длин плеч: \(\frac{OC}{AO} = \frac{4}{2} = 2\).

Заметим, что прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны, так как накрест лежащие углы при секущей \(BD\) равны. Из параллельности сторон следует равенство углов в прямоугольных треугольниках \(AHB\) и \(CDK\).

Таким образом, прямоугольные треугольники \(AHB\) и \(CDK\) также подобны. Из этого подобия вытекает, что отношение высот равно отношению гипотенуз: \[\frac{CK}{AH} = \frac{CD}{AB}\] Поскольку из подобия первых треугольников \(\frac{CD}{AB} = \frac{OC}{AO} = 2\), подставим значения: \[CK = AH \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6.\] Конец длинного плеча опустится на 6 метров.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ