Решение:
Пусть искомое трехзначное число состоит из цифр \(a\), \(b\) и \(c\). Согласно условию, сумма этих цифр должна быть равна 20:
\[a + b + c = 20\]
Также известно, что сумма их квадратов \(a^2 + b^2 + c^2\) кратна 3, но при этом не кратна 9.
Сначала определим все возможные комбинации из трех цифр, дающих в сумме 20. Заметим, что цифры 0 и 1 использовать нельзя, так как даже при максимальном значении остальных разрядов (\(9 + 9 = 18\)) мы не получим нужную сумму. Рассмотрим подходящие наборы:
\(2, 9, 9\)
\(3, 8, 9\)
\(4, 7, 9\)
\(4, 8, 8\)
\(5, 7, 8\)
\(5, 6, 9\)
\(6, 7, 7\)
\(6, 6, 8\)
Теперь проверим каждый набор на соответствие второму условию. Напомним, что число делится на 3, если сумма его цифр кратна 3, и делится на 9, если сумма цифр кратна 9.
1) Для цифр \(2, 9, 9\): \(2^2 + 9^2 + 9^2 = 4 + 81 + 81 = 166\). Сумма цифр \(1+6+6=13\) — на 3 не делится.

2) Для цифр \(3, 8, 9\): \(3^2 + 8^2 + 9^2 = 9 + 64 + 81 = 154\). Сумма цифр \(1+5+4=10\) — на 3 не делится.

3) Для цифр \(4, 7, 9\): \(4^2 + 7^2 + 9^2 = 16 + 49 + 81 = 146\). Сумма цифр \(1+4+6=11\) — на 3 не делится.

4) Для цифр \(4, 8, 8\): \(4^2 + 8^2 + 8^2 = 16 + 64 + 64 = 144\). Сумма цифр \(1+4+4=9\) — делится и на 3, и на 9 (не подходит).

5) Для цифр \(5, 7, 8\): \(5^2 + 7^2 + 8^2 = 25 + 49 + 64 = 138\). Сумма цифр \(1+3+8=12\) — делится на 3, но не делится на 9. Подходит!

6) Для цифр \(5, 6, 9\): \(5^2 + 6^2 + 9^2 = 25 + 36 + 81 = 142\). Сумма цифр \(1+4+2=7\) — на 3 не делится.

7) Для цифр \(6, 7, 7\): \(6^2 + 7^2 + 7^2 = 36 + 49 + 49 = 134\). Сумма цифр \(1+3+4=8\) — на 3 не делится.

8) Для цифр \(6, 6, 8\): \(6^2 + 6^2 + 8^2 = 36 + 36 + 64 = 136\). Сумма цифр \(1+3+6=10\) — на 3 не делится.

Таким образом, условиям удовлетворяет только комбинация цифр 5, 7 и 8. Из них можно составить следующие трехзначные числа: 578, 587, 758, 785, 857, 875. Любое из этих чисел будет верным ответом.

Ответ: 578 / 587 / 758 / 785 / 857 / 875

Источник: ФИПИ