Решение:
1) Согласно условию, при делении искомого числа на 5 получается остаток 3. Это означает, что последняя цифра числа может быть либо 3, либо 8.
2) По условию задачи цифры в числе должны строго убывать. Если бы число заканчивалось на 8, то перед ней могла бы стоять только цифра 9. Однако в трехзначном числе с убывающими цифрами после 8 должны быть еще две позиции, что невозможно. Таким образом, число обязано заканчиваться на цифру 3.
3) Обозначим искомое число как \(100x + 10y + 3\). Так как при делении на 4 и на 6 оно дает в остатке 3, то часть числа без последней цифры, то есть \(100x + 10y\), должна делиться нацело и на 4, и на 6 одновременно.
4) Рассмотрим делимость на 4. Чтобы число \(100x + 10y\) делилось на 4, необходимо, чтобы на 4 делилось двузначное число \(10y\). Учитывая условие убывания цифр (где \(y > 3\)), подходящими значениями для \(y\) будут 4, 6 или 8.
5) Теперь проверим условие делимости на 6. Для этого сумма цифр \(x + y\) должна быть кратна 3 (так как \(100x + 10y\) уже четное).
6) Проверим варианты:
— Если \(y = 4\), то для выполнения условия убывания \(x\) может быть от 5 до 9. Сумма \(x + 4\) делится на 3 при \(x = 5\) или \(x = 8\). Число 543 не подходит, так как 540 не делится на 4. А вот для \(x = 8\) получаем число 843 (840 делится и на 4, и на 6).
— Если \(y = 6\), то \(x\) может быть 7, 8 или 9. Сумма \(x + 6\) кратна 3 при \(x = 9\). Получаем число 963 (960 делится и на 4, и на 6).
— Если \(y = 8\), то \(x = 9\), но 980 не делится на 6.

Ответ: 843 / 963

Источник: ФИПИ