Разбор задачи:
Данное сечение цилиндра, проходящее параллельно его оси, имеет форму прямоугольника. Одна из его сторон совпадает с образующей цилиндра и равна \(18,\) а вторая сторона — это хорда \(AB.\)
Для нахождения площади сечения вычислим длину хорды \(AB,\) рассмотрев треугольник \(AOB\) в основании цилиндра:
Отрезок \(OK\) — это перпендикуляр, опущенный из центра основания на плоскость сечения, его длина по условию составляет \(12.\)
Так как \(OA\) и \(OB\) являются радиусами основания, их длины равны \(13.\) Следовательно, треугольник \(AOB\) — равнобедренный, а высота \(OK\) делит сторону \(AB\) пополам. Обозначим половину хорды \(AK = KB\) через \(x.\)
Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника \(AOK:\)
\[x = \sqrt{OA^{2} - OK^{2}} = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{169 - 144} = 5\]
Тогда вся длина хорды \(AB\) будет равна: \(2 \cdot 5 = 10.\)
Теперь вычислим искомую площадь сечения как произведение его сторон: \(10 \cdot 18 = 180.\)

Ответ: 180

Источник: ФИПИ