Решение:
Пусть искомое четырёхзначное число \(abcd\) равно результату деления куба некоторого натурального числа \(m\) на \(14\). Запишем это в виде уравнения: \[abcd = \frac{m^{3}}{14}\] Так как число \(abcd\) является четырёхзначным, оно должно находиться в диапазоне от \(1000\) до \(9999\). Составим двойное неравенство: \[1000 \leq \frac{m^{3}}{14} \leq 9999\] Умножим все части неравенства на \(14\), чтобы оценить возможные значения \(m^{3}\): \[14000 \leq m^{3} \leq 139986\] Поскольку \(m\) — натуральное число, а результат деления \(m^{3}\) на \(14\) должен быть целым, то \(m^{3}\) обязано делиться на \(14\). Это означает, что в разложение числа \(m\) должны входить простые множители \(2\) и \(7\), то есть \(m\) кратно \(14\). Рассмотрим последовательно значения \(m\), кратные \(14\):
1) Если \(m = 14\), то \(m^{3} = 14^{3} = 2744\). Это значение меньше \(14000\), следовательно, оно не удовлетворяет условию.
2) Если \(m = 28\), то \(m^{3} = 28^{3} = 21952\). Данное число попадает в промежуток \([14000; 139986]\). Вычислим искомое число: \(abcd = \frac{21952}{14} = 1568\).
3) Если \(m = 42\), то \(m^{3} = 42^{3} = 74088\). Это значение также входит в нужный диапазон. Находим число: \(abcd = \frac{74088}{14} = 5292\).
4) Если \(m = 56\), то \(m^{3} = 56^{3} = 175616\). Это число больше \(139986\), поэтому оно нам не подходит.

Ответ: 1568 / 5292

Источник: ФИПИ