Разбор задачи:
Рассмотрим геометрическую ситуацию в треугольнике \(ABC\).
Нам дано, что отрезок \(AL\) является биссектрисой угла \(A\). Также известны величины углов: \(\angle ALC = 78^{\circ}\) и \(\angle ABC = 52^{\circ}\).
Сначала проанализируем треугольник \(ABL\):
1) Угол \(\angle ALB\) является смежным с углом \(\angle ALC\). Следовательно, его величина равна: \(\angle ALB = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ}\).
2) Зная два угла в треугольнике \(ABL\) (\(\angle B = 52^{\circ}\) и \(\angle ALB = 102^{\circ}\)), вычислим третий угол: \(\angle BAL = 180^{\circ} - (102^{\circ} + 52^{\circ}) = 26^{\circ}\).
Перейдем к основному треугольнику \(ABC\):
Поскольку \(AL\) делит угол \(A\) пополам, весь угол \(A\) в два раза больше найденного угла \(\angle BAL\): \(\angle A = 2 \cdot 26^{\circ} = 52^{\circ}\).
Теперь нам известны два угла треугольника \(ABC\): \(\angle A = 52^{\circ}\) и \(\angle B = 52^{\circ}\).
Сумма углов треугольника всегда составляет \(180^{\circ}\), поэтому искомый угол \(C\) равен:
\(\angle C = 180^{\circ} - 52^{\circ} - 52^{\circ} = 76^{\circ}\).

Ответ: 76

Источник: ФИПИ