Решение:
Обозначим позиции ваз по порядку: первая, вторая и третья.
Из условия известно, что суммарное количество роз в вазах, стоящих слева от зелёной, составляет 21.
Также известно, что в вазах, расположенных справа от жёлтой, в сумме находится 31 роза.
Общее количество роз во всех трёх вазах равно 40.
Рассмотрим возможные варианты расположения ваз:
1. Допустим, зелёная ваза стоит на втором месте. Тогда слева от неё только первая ваза, в которой должно быть 21 роза. В таком случае на вторую и третью вазы остаётся \(40 - 21 = 19\) роз. Проверим положение жёлтой вазы: если она первая, то справа от неё 19 роз (а должно быть 31); если она вторая, то справа от неё (в третьей вазе) должно быть 31 роза, что невозможно, так как на две вазы всего 19 роз. Значит, зелёная ваза не может быть второй.
2. Пусть зелёная ваза занимает третью позицию. Тогда сумма роз в первой и второй вазах равна 21. Следовательно, в самой зелёной вазе (на третьем месте) находится \(40 - 21 = 19\) роз.
Теперь определим положение жёлтой вазы в этом случае:
Если жёлтая ваза стоит первой, то сумма роз во второй и третьей вазах должна быть равна 31. Вычислим количество роз в первой вазе: \(40 - 31 = 9\).
Зная, что в первой вазе 9 роз, а сумма первой и второй ваз равна 21, находим количество роз во второй вазе: \(21 - 9 = 12\).
Таким образом, получаем распределение: в первой (жёлтой) вазе — 9 роз, во второй (красной) — 12 роз, в третьей (зелёной) — 19 роз.
Проверка условий:
Слева от зелёной (3-й) вазы: \(9 + 12 = 21\) роза. Верно.
Справа от жёлтой (1-й) вазы: \(12 + 19 = 31\) роза. Верно.
Следовательно, в красной вазе находится 12 роз.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ