Решение:
Искомое число должно быть кратно 75. Разложим это число на множители: \(75 = 3 \cdot 25\). Следовательно, число должно одновременно удовлетворять признакам делимости на 3 и на 25.
1) Согласно признаку делимости на 25, число может оканчиваться только на 00, 25, 50 или 75.
2) По условию произведение всех цифр числа должно находиться в диапазоне от 85 до 95. Если число заканчивается на 00 или 50, то произведение его цифр будет равно 0, что нам не подходит. Значит, возможны только варианты с окончанием 25 или 75.
Рассмотрим случай, когда число оканчивается на 75:
Произведение последних двух цифр равно \(7 \cdot 5 = 35\). Пусть произведение первых трёх цифр равно \(P\). Тогда общее произведение цифр составит \(35 \cdot P\).
Проверим условие: \(85 < 35 \cdot P < 95\).
Разделив все части неравенства на 35, получим: \(2{,}4 < P < 2{,}7\).
Так как произведение цифр \(P\) обязано быть целым числом, данный вариант не имеет решений.
Рассмотрим случай, когда число оканчивается на 25:
Произведение последних цифр равно \(2 \cdot 5 = 10\). Пусть произведение первых трёх цифр равно \(P\).
Тогда: \(85 < 10 \cdot P < 95\).
Отсюда следует, что \(8{,}5 < P < 9{,}5\). Единственное целое значение для \(P\) — это 9.
Нам нужно подобрать такие первые три цифры, чтобы их произведение было равно 9, а сумма всех пяти цифр числа делилась на 3 (признак делимости на 3).
Возьмём цифры 9, 1 и 1. Их произведение \(9 \cdot 1 \cdot 1 = 9\).
Проверим сумму цифр числа 91125: \(9 + 1 + 1 + 2 + 5 = 18\). Число 18 делится на 3, значит, условие выполняется.
Таким образом, одним из подходящих чисел является 91125.

Ответ: 91125

Источник: ФИПИ