Задание 3 ЕГЭ по математике (профиль): стереометрия

Задание 3 профильного ЕГЭ по математике — это стереометрия, то есть геометрия в пространстве. Вам дают объёмное тело (параллелепипед, призму, пирамиду, цилиндр, конус или шар) и просят найти объём, площадь поверхности, длину ребра или другую величину. Ответ — число, которое записывается в бланк. За задание дают 1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1, любой другой — 0. Уровень базовый, в среднем его выполняют около 68% сдающих, а пространственные факты из него понадобятся в более дорогом задании 14. В статье — что именно проверяют, все формулы объёмов и площадей с чертежами, важное правило подобия тел, отдельный приём для «объёма многогранника по вершинам», пошаговый алгоритм, два разбора реальных заданий и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 3 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 3

Задание проверяет владение базовой стереометрией: умение узнать тело, применить формулу объёма или площади поверхности и связать величины между собой. Темы, которые встречаются чаще всего:

Как выглядит формулировка

ФИПИ даёт чертёж тела и короткое условие. Формулировки разные, но все сводятся к «найдите величину». Примеры:

Формулы, которые нужно знать

Главное в задании 3 — узнать тело и вспомнить две формулы: объём и площадь поверхности. Ниже — весь нужный набор. Запомните закономерность: у призмы и цилиндра объём это «основание × высота», а у пирамиды и конуса — то же самое, но с коэффициентом $\tfrac{1}{3}$.

Прямоугольный параллелепипед и куб

Параллелепипед с измерениями $a, b, c$:

$$V = abc, \qquad S = 2(ab + bc + ac)$$

Диагональ параллелепипеда (пространственная теорема Пифагора):

$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

Куб — частный случай при $a = b = c$: $V = a^3$, $S = 6a^2$, диагональ $d = a\sqrt{3}$.

Призма

Объём призмы — площадь основания $S_{\text{осн}}$ на высоту $h$:

$$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$

Боковая поверхность прямой призмы — периметр основания на высоту, полная — плюс два основания:

$$S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h, \qquad S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 S_{\text{осн}}$$

Высота прямой призмы равна боковому ребру.

Пирамида

Объём пирамиды — треть от «основание на высоту»:

$$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$$

Полная поверхность — основание плюс боковые грани. У правильной пирамиды боковая поверхность считается через апофему $a$ (высоту боковой грани):

$$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot a, \qquad S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}$$

$h$ — это высота пирамиды (перпендикуляр из вершины к основанию), а не боковое ребро и не апофема.

Цилиндр

Цилиндр — это «призма с круглым основанием». Радиус основания $R$, высота $h$:

$$V = \pi R^2 h$$

Боковая и полная поверхности:

$$S_{\text{бок}} = 2\pi R h, \qquad S_{\text{полн}} = 2\pi R h + 2\pi R^2$$

В ответах ФИПИ $\pi$ обычно сокращается — числа подобраны так, что искомая величина получается «красивой».

Конус

Конус — это «пирамида с круглым основанием», поэтому объём опять с коэффициентом $\tfrac{1}{3}$:

$$V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$$

Боковая поверхность считается через образующую $l$ (а не высоту), полная — плюс основание:

$$S_{\text{бок}} = \pi R l, \qquad S_{\text{полн}} = \pi R l + \pi R^2$$

Образующая, высота и радиус связаны теоремой Пифагора: $l^2 = R^2 + h^2$.

Шар и сфера

Объём шара и площадь его поверхности (сферы) радиуса $R$:

$$V = \frac{4}{3}\pi R^3, \qquad S = 4\pi R^2$$

Большой круг шара (сечение через центр) имеет площадь $\pi R^2$ — ровно вчетверо меньше площади сферы. Это частая связка в заданиях.

Подобие тел: правило $k^2$ и $k^3$

Большая группа заданий 3 — это вопросы «во сколько раз изменится…». Здесь работает одно правило подобия. Если все линейные размеры тела увеличить в $k$ раз, то:

• длины (рёбра, радиусы) растут в $k$ раз;
• площади (поверхность, сечения) — в $k^2$ раз;
• объём — в $k^3$ раз.

Пример: ребро куба увеличили в 3 раза — площадь поверхности вырастет в $3^2 = 9$ раз, а объём — в $3^3 = 27$ раз. Если меняется только один размер (например, радиус конуса при той же высоте), смотрите, в какой степени он входит в формулу: $V$ конуса содержит $R^2$, значит при росте $R$ в 8 раз объём вырастет в $8^2 = 64$ раза.

Отдельный приём: объём многогранника по вершинам

Очень популярный тип задания 3 — «найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки …» внутри параллелепипеда или призмы. Пугаться не нужно: почти всегда такой многогранник — это пирамида. План действий простой:

Алгоритм решения задания 3

1. Определите тело. Призма, пирамида, цилиндр, конус, шар? Или комбинация (тело вписано/описано)?
2. Запишите, что ищут, и вспомните формулу. Объём или площадь поверхности — под каждое тело своя формула из списка выше.
3. Выпишите данные на чертёж. Подпишите рёбра, радиусы, высоту. Не путайте высоту с боковым ребром, образующей или апофемой.
4. Для «во сколько раз» — используйте подобие. Не считайте сами размеры: смотрите, в какой степени меняющийся размер входит в формулу ($k$, $k^2$ или $k^3$).
5. Посчитайте и проверьте. Объём и площадь положительны; $\pi$ в задачах ФИПИ почти всегда сокращается. Ответ — без единиц измерения.

Примеры с разбором

Пример 1. Объём многогранника по вершинам

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A,\ B,\ C,\ D_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 4$, $AD = 3$, $AA_1 = 4$.

Пример 2. Комбинация фигур: цилиндр и конус

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объём конуса, если объём цилиндра равен $150$.

Типичные ошибки и ловушки

Зачем стереометрия нужна дальше

Задание 3 — это «разминка» перед заданием 14 части 2, где стереометрию нужно не просто посчитать, а доказать и оформить полное решение на 3 балла. Формулы объёмов и площадей, свойства призм и пирамид, сечения — всё это работает в обоих заданиях. А ещё пригодятся векторы из задания 2: в пространстве к координатам $x$ и $y$ добавляется $z$, и координатный метод становится одним из самых надёжных способов решать сложную стереометрию. Чем увереннее вы решаете задание 3, тем легче даётся «большая» стереометрия.

План подготовки на 2 недели

Неделя 1 — формулы тел

Выпишите на одну карточку формулы объёма и поверхности всех шести тел: параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. Отдельно отметьте, где стоит коэффициент $\tfrac{1}{3}$ и где в поверхность идёт образующая. Каждый день решайте по 8–10 заданий одного типа (сначала призмы и параллелепипеды, потом тела вращения), подглядывая в карточку. Цель — узнавать тело по чертежу за секунды.

Неделя 2 — подобие, комбинации и на время

Добавьте задачи на «во сколько раз» (правило $k^2$/$k^3$), комбинации фигур и объём многогранника по вершинам. Решайте по 5–7 заданий вперемешку, не больше 4 минут на каждое и уже без карточки. После каждой серии разбирайте ошибки: где спотыкаетесь чаще — на формулах, на высоте или на степени $k$.