Задание 2 ЕГЭ по математике (профиль): векторы

Задание 2 профильного ЕГЭ по математике — это векторы на плоскости. Вам дают векторы координатами или рисунком на клетчатой бумаге и просят найти результат операции: длину суммы, скалярное произведение, координату вектора. Ответ — число, которое записывается в бланк. За задание дают 1 первичный балл по принципу «всё или ничего». Хорошая новость: задание 2 — одно из самых «механических» в варианте. Здесь почти нет творчества — нужно знать четыре формулы (координаты, сложение, длина, скалярное произведение) и аккуратно посчитать. В статье — что именно проверяют, все формулы с чертежами, как читать векторы по клеткам, пошаговый алгоритм, разбор двух реальных заданий и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 2 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 2

Задание проверяет умение работать с векторами в координатах: выполнять операции и вычислять числовые характеристики. Типы заданий, которые встречаются чаще всего:

Что нужно уметь:

находить координаты вектора по точкам его начала и конца;
читать координаты вектора с клетчатого рисунка;
складывать, вычитать векторы и умножать их на число;
находить длину (модуль) вектора;
вычислять скалярное произведение двух векторов;
находить угол между векторами, проверять перпендикулярность.

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Базовый
Формат ответа	Целое число или конечная десятичная дробь
Раздел	Векторы (геометрия на плоскости)
Рекомендуемое время	2–4 минуты
Связанные задания	3 (стереометрия), 14 (векторы в пространстве)

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 2 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с чертежами и мгновенной проверкой ответа. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 2

Как выглядит формулировка

ФИПИ задаёт векторы либо координатами в условии, либо рисунком на клетчатой бумаге. Формулировки сводятся к «найдите величину». Примеры:

«Найдите длину вектора $\vec{a} + \vec{b}$ , если $\vec{a}\,(6;\,4)$ и $\vec{b}\,(6;\,5)$ ».
«На рисунке изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ . Найдите их скалярное произведение».
«Даны точки $A\,(1;\,5)$ и $B\,(2;\,3)$ . Найдите длину вектора $\vec{AB}$ ».

Формулы, которые нужно знать

Почти всё задание 2 держится на четырёх формулах: координаты вектора, операции над координатами, длина и скалярное произведение. Выучите их — и большинство заданий решается в одну строчку.

Координаты вектора

Вектор a от начала координат до точки (4; 3) на координатной сетке — Координаты вектора a — это сдвиг по оси x (4) и по оси y (3)

Вектор задаётся парой координат $\vec{a} = (x;\,y)$ — это сдвиг по осям $x$ и $y$ . Если известны начало $A(x_1;\,y_1)$ и конец $B(x_2;\,y_2)$ , то координаты находят как «конец минус начало»:

\vec{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1)

Порядок важен: из координат конца вычитаем координаты начала, иначе вектор «развернётся» в обратную сторону.

Сложение, вычитание, умножение на число

Все операции выполняются покоординатно. Пусть $\vec{a} = (a_1;\,a_2)$ и $\vec{b} = (b_1;\,b_2)$ :

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1;\ a_2 + b_2), \qquad \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1;\ a_2 - b_2)

Умножение на число $k$ растягивает обе координаты:

k\vec{a} = (k a_1;\ k a_2)

Геометрически сумму удобно строить по правилу треугольника или параллелограмма — результат один и тот же:

Сложение векторов по правилу треугольника: конец a совмещён с началом b — Правило треугольника: a + b ведёт из начала a в конец b

Сложение векторов по правилу параллелограмма из общего начала — Правило параллелограмма: a + b — диагональ из общего начала

Длина (модуль) вектора

Длина вектора $\vec{a} = (x;\,y)$ — это корень из суммы квадратов координат (по сути теорема Пифагора):

|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}

Чтобы найти длину суммы или разности, сначала находят координаты этого вектора, а уже потом — его модуль. В заданиях ФИПИ числа почти всегда подобраны так, чтобы корень извлекался нацело (как $\sqrt{225} = 15$ ).

Скалярное произведение

Угол φ между векторами a и b, отложенными из одной точки — Скалярное произведение связано с углом φ между векторами

Скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$ — это число. Через координаты считается проще всего — сумма произведений соответствующих координат:

\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

Через длины и угол $\varphi$ между векторами:

\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi

Отсюда косинус угла между векторами:

\cos\varphi = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\,\cdot\,\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}

Если $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ , векторы перпендикулярны ( $\varphi = 90^\circ$ ).
Векторы коллинеарны (на одной прямой), если их координаты пропорциональны: $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2}$ .

Как читать векторы по клеткам

Часть заданий 2 даёт не координаты, а рисунок на клетчатой бумаге. Чтобы получить координаты вектора, посчитайте, на сколько клеток он сдвигается вправо (это координата $x$ ) и вверх (координата $y$ ), считая от начала стрелки к её концу.

Вектор на клетчатом рисунке: сдвиг на 4 клетки вправо и 2 вверх — По клеткам: вектор a сдвигается на 4 вправо и 2 вверх, значит a = (4; 2)

Здесь стрелка идёт на 4 клетки вправо и на 2 вверх, поэтому $\vec{a} = (4;\,2)$ . Если бы вектор шёл влево или вниз — соответствующая координата была бы отрицательной.

Алгоритм решения задания 2

Запишите координаты всех векторов. Если даны точки — посчитайте «конец минус начало»; если рисунок — посчитайте сдвиг по клеткам вправо и вверх.
Выполните указанную операцию покоординатно. Сложение, вычитание, умножение на число — отдельно по $x$ и по $y$ .
Примените нужную формулу. Длина — корень из суммы квадратов; скалярное произведение — сумма произведений координат.
Посчитайте и проверьте знаки. Чаще всего ошибка не в формуле, а в минусе. Скалярное произведение вполне может быть отрицательным — это нормально.
Запишите ответ. Без единиц измерения; десятичная дробь — через запятую.

Путаетесь в координатах и знаках?

Прорешайте 10–15 заданий 2 подряд — операции с векторами быстро доходят до автоматизма. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и разбор решения.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Длина суммы векторов

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Даны векторы $\vec{a}\,(6;\,4)$ и $\vec{b}\,(6;\,5)$ . Найдите длину вектора $\vec{a} + \vec{b}$ .

Сложение векторов a = (6; 4) и b = (6; 5), сумма (12; 9), длина 15 — a = (6; 4), b = (6; 5): сумма (12; 9), её длина равна 15

Решение:

Сначала складываем векторы покоординатно:

\vec{a} + \vec{b} = (6 + 6;\ 4 + 5) = (12;\ 9)

Теперь находим длину полученного вектора по формуле корня из суммы квадратов координат:

|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15

Ответ: 15. Обратите внимание: длину ищут уже после сложения, а не складывают длины $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по отдельности.

Пример 2. Скалярное произведение

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

На рисунке изображены векторы с координатами $\vec{a}\,(-13;\,4)$ и $\vec{b}\,(-6;\,1)$ . Найдите их скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$ .

Решение:

Скалярное произведение в координатах — это сумма произведений соответствующих координат:

\vec{a}\cdot\vec{b} = (-13)\cdot(-6) + 4\cdot 1 = 78 + 4 = 82

Ответ: 82. Главное — аккуратно с минусами: произведение двух отрицательных координат $(-13)\cdot(-6)$ даёт плюс 78.

Типичные ошибки и ловушки

Перепутать начало и конец вектора

Координаты вектора $\vec{AB}$ — это «конец минус начало»: $(x_B - x_A;\ y_B - y_A)$ . Если вычесть наоборот, вектор получится противоположным.

Складывать длины вместо координат

Длина суммы $|\vec{a} + \vec{b}|$ почти никогда не равна сумме длин $|\vec{a}| + |\vec{b}|$ . Сначала сложите координаты, и только потом ищите длину.

Ошибки со знаками

Самая частая причина неверного ответа — потерянный минус. Векторы по клеткам могут идти влево или вниз (отрицательные координаты), а произведение двух минусов даёт плюс.

Путать скалярное произведение и координаты

Скалярное произведение — это одно число ( $a_1 b_1 + a_2 b_2$ ), а не вектор. Не нужно «перемножать координаты по отдельности» и записывать пару чисел.

Невнимательное чтение рисунка

На клетчатом рисунке считайте клетки от начала стрелки к её концу, а не наоборот. Легко ошибиться на одну клетку — перепроверьте по узлам сетки.

Зачем векторы нужны дальше

Векторы из задания 2 — это плоский случай. В задании 3 (стереометрия) и особенно в задании 14 части 2 те же формулы работают в пространстве: к координатам $x$ и $y$ добавляется $z$ , а длина и скалярное произведение считаются точно так же — просто с тремя слагаемыми. Координатный метод (вектора в пространстве) — один из самых надёжных способов решать сложную стереометрию на доказательство. Так что задание 2 — это не только «лёгкий балл», но и репетиция перед частью 2.

Задание 3: стереометрия Задание 1: планиметрия

План подготовки на неделю

Дни 1–3 — формулы и операции

Выпишите на карточку четыре формулы: координаты вектора по точкам, покоординатные операции, длину и скалярное произведение. Каждый день решайте по 8–10 заданий одного типа: сначала «длина суммы», потом «скалярное произведение», потом «вектор по двум точкам». Цель — чтобы рука сама писала формулу, как только видите тип задания.

Дни 4–7 — вперемешку и по клеткам

Добавьте задания с рисунком на клетчатой бумаге и решайте всё вперемешку, не больше 3 минут на каждое. Отдельно отрабатывайте аккуратность со знаками — именно из-за минусов теряют этот лёгкий балл. После каждой серии разбирайте ошибки на Repet.ai.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 2 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1 балл, любой другой — 0. Это один из самых быстрых и предсказуемых баллов в варианте, поэтому терять его обидно.

Четыре основные: координаты вектора по двум точкам (конец минус начало), покоординатные сложение/вычитание/умножение на число, длина вектора (корень из суммы квадратов координат) и скалярное произведение (сумма произведений координат). Этого хватает почти для всех заданий 2.

Длина вектора (x; y) равна √(x² + y²) — корень из суммы квадратов координат. Если нужна длина суммы или разности векторов, сначала находят координаты этого вектора, а потом считают его длину. В заданиях ФИПИ корень обычно извлекается нацело.

Скалярное произведение двух векторов — это число, равное сумме произведений их соответствующих координат: a₁·b₁ + a₂·b₂. Да, оно может быть отрицательным (если угол между векторами тупой) или равным нулю (если векторы перпендикулярны).

Посчитайте, на сколько клеток стрелка сдвигается вправо (координата x) и вверх (координата y), двигаясь от начала к концу вектора. Сдвиг влево или вниз даёт отрицательную координату. Считайте по узлам сетки, чтобы не ошибиться на клетку.

Те же формулы работают для векторов в пространстве — это пригодится в задании 3 (стереометрия) и задании 14 части 2, где координатный метод помогает решать сложную стереометрию. Разница лишь в третьей координате z.

Да. На Repet.ai в разделе ЕГЭ по математике загружены задания 2 из открытого банка ФИПИ. Вы решаете задание онлайн, сразу видите, верный ли ответ, и можете разобрать решение по шагам.

Готовы закрыть задание 2 на автомате?

Векторы — это лёгкий и предсказуемый балл: четыре формулы и аккуратность со знаками. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и за неделю доведёте навык до автоматизма.

Тренировать задание 2 Дальше: задание 3 Все задания ЕГЭ по математике