Задание 19 ЕГЭ по математике (профиль): числа и их свойства

Задание 19 профильного ЕГЭ по математике — одно из самых нестандартных в части 2. Здесь нет «формулы на подстановку»: нужно рассуждать о числах — доказывать возможность или невозможность представления числа в заданном виде, находить наибольшее или наименьшее значение суммы числового набора. Задание состоит из трёх пунктов а), б), в) и оценивается в 4 первичных балла. Ключевые инструменты: делимость, остатки по модулю, сумма цифр и свойство $n \equiv S(n) \pmod{9}$ . Тренироваться можно на реальных заданиях 19 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой и разбором.

Что проверяет задание 19

Задание проверяет умение работать с целыми числами на уровне доказательства: находить примеры, строить инварианты, проводить оценки. Всё это требует не вычислительной техники, а логических рассуждений.

Что нужно уметь:

приводить пример числового набора с нужными свойствами (пункт а);
доказывать невозможность через инвариант — остаток, чётность, сумму цифр (пункт б);
находить наибольшее или наименьшее значение суммы: строить нижнюю/верхнюю оценку и подтверждать её конструкцией (пункт в);
применять свойство: $n \equiv S(n) \pmod{9}$ , где $S(n)$ — сумма цифр числа $n$ ;
рассуждать о чётности, признаках делимости и разрядном сложении без переноса.

Параметр	Значение
Максимальный балл	4 первичных
Уровень	Высокий
Часть	2 (развёрнутый ответ)
Формат	Полное решение, пункты а), б), в)
Раздел	Числа и их свойства
Время	25–40 минут
Связанные задания	—

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 19 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с разбором всех трёх пунктов. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 19

Как выглядит формулировка

Задание 19 всегда состоит из трёх связанных пунктов по одной теме. Типичная структура:

а) Можно ли представить число $N$ в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? (требуется пример)
б) Можно ли представить число $M$ в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? (как правило — нет; требуется доказательство)
в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы $k$ различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова. (требуются оценка снизу и конкретный набор)

Теория: что нужно знать

Делимость и сравнения по модулю

Числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по модулю $m$ , если их разность делится на $m$ :

a \equiv b \pmod{m} \iff m \mid (a - b)

Основные свойства: если $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$ , то:

$a + c \equiv b + d \pmod{m}$ (сложение сохраняет остаток);
$a - c \equiv b - d \pmod{m}$ (вычитание — тоже);
$a \cdot c \equiv b \cdot d \pmod{m}$ (умножение — тоже).

В задании 19 модуль почти всегда равен $9$ или $2$ (проверка на чётность).

Признак делимости на 9: сумма цифр

Для любого натурального числа $n$ его сумма цифр $S(n)$ сравнима с самим числом по модулю 9:

n \equiv S(n) \pmod{9}

Следствие: если два числа имеют одинаковую сумму цифр, то они сравнимы между собой по модулю 9, то есть их разность делится на 9.

Именно поэтому в задании 19 набор из чисел с равной суммой цифр — это набор чисел с одинаковым остатком при делении на 9. Если упорядочить такие различные числа $x_1 < x_2 < \ldots < x_k$ , то минимальный шаг между соседними составляет ровно 9:

x_2 \geq x_1 + 9,\quad x_3 \geq x_1 + 18,\quad \ldots,\quad x_k \geq x_1 + 9(k-1)

Это ключевое неравенство используется в пункте в) для получения нижней оценки суммы.

Метод «оценка + пример» для пункта в)

Чтобы найти наименьшую возможную сумму $k$ различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, действуют так:

Установить нижнюю оценку: если наименьшее число набора равно $x_1$ , то сумма набора $\Sigma \geq k x_1 + 9(0 + 1 + \ldots + (k-1))$ , то есть
$\Sigma \geq k x_1 + \frac{9k(k-1)}{2}$
Перебрать значения суммы цифр $S = 1, 2, 3, \ldots$ , для каждого взять наименьшие числа с этой суммой цифр и вычислить их сумму.
Выбрать наименьшую из полученных сумм. Убедиться, что для больших $S$ нижняя оценка $k \cdot S + \frac{9k(k-1)}{2}$ уже превышает найденный минимум — тогда перебор можно остановить.

Числовые наборы: перебор и логические рассуждения

Некоторые варианты задания 19 связаны не с суммой цифр, а с взаимной простотой чисел (НОД = 1). Тогда ключевую роль играют рассуждения о чётности:

В наборе взаимно простых чисел не может быть двух чётных — у них общий делитель 2.
Если в наборе ровно одно чётное число, то сумма набора из $k$ чисел (1 чётное + $k-1$ нечётных) имеет ту же чётность, что и $k - 1$ .
Если все числа нечётны, сумма $k$ нечётных чисел чётна при чётном $k$ и нечётна при нечётном $k$ .

Эти наблюдения позволяют исключить целые классы значений суммы ещё до перебора.

Алгоритм решения задания 19

Пункт а) — привести пример. Подберите два конкретных числа с одинаковой суммой цифр, дающих нужную сумму. Удобно взять «круглое» число с известной суммой цифр и подобрать к нему пару. Обязательно явно проверьте, что суммы цифр слагаемых совпадают.
Пункт б) — доказать невозможность. Предположите, что представление существует: $A + B = N$ . Запишите числа разрядно (без переносов при сложении в столбик). Выразите $S(A)$ и $S(B)$ через цифры числа $N$ и приравняйте их. Покажите, что получается уравнение вида $2S = \text{нечётное}$ , не имеющее целых решений.
Пункт в) — найти минимум суммы. Используйте нижнюю оценку через шаг 9. Переберите суммы цифр от 1 до разумного предела, записывая наименьшие числа с данной суммой цифр и их суммы. Убедитесь, что найденный минимум подтверждается конкретным набором, а оценка снизу не улучшается при больших значениях суммы цифр.

Не можете доказать невозможность?

Разбор пункта б) по шагам — на конкретных примерах из банка ФИПИ. Отработайте метод инварианта за одну тренировку.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Суммы двух чисел с одинаковой суммой цифр (6 чисел)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ, ID 81142):

а) Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
б) Можно ли представить число 199 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.

Пункт а)

Решение:

Нужно предъявить пример. Возьмём число 2006, сумма цифр которого $2 + 0 + 0 + 6 = 8$ . Прибавим к нему 8:

2014 = 2006 + 8

Сумма цифр первого слагаемого: $S(2006) = 8$ . Сумма цифр второго слагаемого: $S(8) = 8$ . Числа различны и натуральны — условие выполнено.

Ответ а): Да.

Пункт б)

Решение:

Предположим, что $A + B = 199$ при $S(A) = S(B)$ .

Проанализируем сложение в столбик. В разряде единиц сумма цифр оканчивается на 9; поскольку максимальная сумма двух цифр равна 18, перенос в следующий разряд невозможен — значит, сумма единичных цифр ровно 9. Аналогично в разряде десятков: без переноса сумма десятичных цифр равна 9. В разряде сотен: сумма цифр равна 1. Следовательно, если $A = \overline{abc}$ , то $B = \overline{(1-a)(9-b)(9-c)}$ .

Суммы цифр:

S(A) = a + b + c, \qquad S(B) = (1-a) + (9-b) + (9-c) = 19 - (a+b+c)

Из условия $S(A) = S(B)$ получаем:

a + b + c = 19 - (a+b+c) \implies 2(a+b+c) = 19

Но $19$ нечётно, и уравнение не имеет целых решений. Противоречие доказывает невозможность.

Ответ б): Нет.

Пункт в)

Решение:

Ищем наименьшую возможную сумму шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. Пусть сумма цифр у всех равна $S$ и числа упорядочены: $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6$ . Поскольку числа с одинаковой суммой цифр имеют одинаковый остаток при делении на 9, минимальный шаг между соседними равен 9:

\Sigma \geq 6x_1 + (9 + 18 + 27 + 36 + 45) = 6x_1 + 135

Перебираем значения $S$ и записываем наименьшие числа с данной суммой цифр:

$S = 1$ : числа $1, 10, 100, 1000, 10000, 100000$ . Сумма слишком велика: $111111$ .
$S = 2$ : числа $2, 11, 20, 101, 110, 200$ . Сумма: $444$ .
$S = 3$ : числа $3, 12, 21, 30, 102, 111$ . Сумма: $279$ .
$S = 4$ : числа $4, 13, 22, 31, 40, 103$ . Сумма: $213$ .
$S = 5$ : числа $5, 14, 23, 32, 41, 50$ . Сумма: $165$ .
$S = 6$ : числа $6, 15, 24, 33, 42, 51$ . Сумма: $171$ .

При $S \geq 6$ минимальное первое слагаемое $x_1 \geq 6$ , поэтому нижняя оценка $6 \cdot 6 + 135 = 171$ уже больше 165. Значит, лучше при $S \geq 6$ не будет.

Ответ в): 165 (набор: 5, 14, 23, 32, 41, 50).

Пример 2. Суммы двух чисел с одинаковой суммой цифр (5 чисел)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ, ID 81141):

а) Можно ли представить число 2032 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
б) Можно ли представить число 799 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.

Пункт а)

Решение:

Возьмём число 2024, у которого $S(2024) = 2 + 0 + 2 + 4 = 8$ . Тогда:

2032 = 2024 + 8

$S(2024) = 8$ и $S(8) = 8$ — суммы цифр равны, числа различны.

Ответ а): Да.

Пункт б)

Решение:

Пусть $A + B = 799$ и $S(A) = S(B)$ . Анализируем сложение в столбик: сумма единичных цифр равна 9 (без переноса), сумма десятичных цифр — 9 (без переноса), сумма цифр сотен — 7. Если $A = \overline{abc}$ , то $B = \overline{(7-a)(9-b)(9-c)}$ .

Суммы цифр:

S(A) = a + b + c, \qquad S(B) = (7-a) + (9-b) + (9-c) = 25 - (a+b+c)

Из $S(A) = S(B)$ :

a + b + c = 25 - (a+b+c) \implies 2(a+b+c) = 25

Левая часть чётна, правая — нечётна. Противоречие.

Ответ б): Нет.

Пункт в)

Решение:

Ищем наименьшую сумму пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. Нижняя оценка:

\Sigma \geq 5x_1 + (9 + 18 + 27 + 36) = 5x_1 + 90

Перебираем значения суммы цифр $S$ :

$S = 1$ : числа $1, 10, 100, 1000, 10000$ . Сумма: $11111$ .
$S = 2$ : числа $2, 11, 20, 101, 110$ . Сумма: $244$ .
$S = 3$ : числа $3, 12, 21, 30, 102$ . Сумма: $168$ .
$S = 4$ : числа $4, 13, 22, 31, 40$ . Сумма: $110$ .
$S = 5$ : числа $5, 14, 23, 32, 41$ . Сумма: $115$ .

При $S \geq 5$ оценка снизу $5 \cdot 5 + 90 = 115$ уже не улучшает найденный минимум 110.

Ответ в): 110 (набор: 4, 13, 22, 31, 40).

Типичные ошибки

Пример вместо доказательства в пункте б)

Самая частая ошибка: ученик перебирает конкретные числа и «убеждается», что ни одно не подходит, но не доказывает этого для всех возможных пар. В пункте б) нужен логический аргумент (инвариант), а не перебор частных случаев — иначе баллы не засчитываются.

Оценка без примера в пункте в)

Доказать, что сумма не меньше некоторого числа, — это только полдела. Если не предъявлен конкретный набор, достигающий этого минимума, ответ не считается полным. Оценка снизу и конструкция-пример обязательны оба.

Неверный признак делимости: «сумма цифр делится на 9»

Ключевое свойство — $n \equiv S(n) \pmod{9}$ , а не « $n$ делится на 9 тогда и только тогда, когда $S(n)$ делится на 9». Числа с одинаковой суммой цифр имеют одинаковый остаток при делении на 9, и этот остаток не обязан быть нулём.

Неполный перебор в пункте в)

Иногда минимум достигается при небольшом значении суммы цифр, но ученик обрывает перебор, не убедившись, что при больших значениях суммы цифр нижняя оценка уже превышает найденный минимум. Необходимо явно указать, почему перебор можно остановить.

Одинаковые числа в наборе пункта в)

Условие требует различных натуральных чисел. Минимальный шаг между числами с одинаковой суммой цифр равен именно 9 — нельзя взять два одинаковых числа или числа с разностью, не кратной 9.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 19 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

4 первичных балла — это одно из самых весомых заданий части 2. Каждый из трёх пунктов проверяется отдельно: как правило, пункт а) даёт 1 балл, пункт б) — 1 балл, пункт в) — 2 балла. Поэтому даже частичное решение приносит баллы.

Это следует из представления числа через разряды: n = a_k·10^k + … + a_1·10 + a_0. Поскольку 10 ≡ 1 (mod 9), каждый разряд 10^i ≡ 1 (mod 9), и n ≡ a_k + … + a_1 + a_0 = S(n) (mod 9). Если S(A) = S(B), то A ≡ S(A) = S(B) ≡ B (mod 9), то есть A − B делится на 9.

Стандартный метод: предположить существование представления A + B = N с S(A) = S(B), записать числа разрядно (часто без переносов при сложении в столбик), выразить S(A) и S(B) через цифры числа N и приравнять. Обычно получается уравнение 2S = нечётное число — что невозможно в целых числах. Это и есть противоречие.

Нужно два шага: (1) вывести нижнюю оценку — показать, что любая допустимая сумма не меньше найденного числа; (2) предъявить конкретный набор, дающий ровно это значение. Для нижней оценки используют тот факт, что между соседними числами с одинаковой суммой цифр шаг не менее 9.

Если нужна сумма цифр S и требуется 6 или более чисел, наименьшее число уже как минимум S (однозначное, если S ≤ 9). Следующие числа будут двузначными или трёхзначными. При S = 5 набор {5, 14, 23, 32, 41, 50} содержит одно однозначное и пять двузначных — это допустимо.

Тогда инструмент другой — рассуждения о чётности. В наборе взаимно простых чисел не может быть двух чётных (у них общий делитель 2). Поэтому либо все числа нечётные, либо ровно одно чётное. Это ограничивает чётность суммы: набор из k чисел с одним чётным имеет ту же чётность суммы, что k − 1. Сравните с нужной суммой и делайте вывод.

Нет. Для пункта а) достаточно предъявить конкретный пример и явно проверить, что оба условия выполнены (суммы цифр равны и числа различны). Оформление занимает 2–3 строки и занимает меньше минуты.

Готовы освоить задание 19?

Задание 19 — нестандартное, но при понимании метода инварианта и метода оценки + пример решается уверенно. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с разбором всех трёх пунктов. Решайте, разбирайте ошибки, и 4 балла станут стабильными.

Тренировать задание 19 Все задания ЕГЭ по математике