Задание 18 ЕГЭ по математике (профиль): задача с параметром

Задание 18 профильного ЕГЭ по математике — самое сложное в варианте: это задача с параметром, где нужно найти все значения параметра $a$ , при которых уравнение или система имеет заданное число решений (ровно одно, два, не имеет решений и т. д.). За полное решение начисляют 4 первичных балла, но частичное оценивается: верный отбор случаев без окончательной проверки — 2–3 балла. Задание требует глубокого понимания функций, симметрии и геометрической интерпретации. Тренироваться удобнее всего на реальных заданиях 18 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — разбирайте структуру условий и оттачивайте каждый шаг алгоритма.

Что проверяет задание 18

Задание проверяет умение исследовать уравнения и системы, зависящие от параметра, на количество решений. Ключевые умения:

Что нужно уметь:

выражать параметр из уравнения и исследовать получившуюся зависимость;
применять аналитический метод: дискриминант, условия на корни, теорему Виета;
использовать графический метод в плоскости $xOy$ — интерпретировать систему как два пересекающихся графика;
использовать графический метод в плоскости $xOa$ — параметр как ось ординат;
замечать симметрию (чётность функций по $x$ ) и делать из неё выводы об единственности решений;
проверять граничные значения параметра на допустимость и единственность;
оформлять полное математическое решение с обоснованием.

Параметр	Значение
Максимальный балл	4 первичных
Уровень	Высокий
Часть	2 (развёрнутый ответ)
Формат	Полное решение, найти все значения параметра
Раздел	Задача с параметром
Время	30–45 минут
Связанные задания	—

Тренируйтесь на реальных заданиях 18

Задания 18 ЕГЭ с параметром из открытого банка ФИПИ — отрабатывайте каждый из методов на настоящих вариантах.

Решать задание 18

Как выглядит формулировка

ФИПИ даёт условие, в котором параметр $a$ входит в уравнение или систему, и просит найти все его значения при заданном числе решений. Типичные формулировки:

«Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система имеет ровно одно решение».
«Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение $f(x, a) = 0$ не имеет решений».
«При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет ровно два корня?»

Теоретическая база: основные методы

Метод 1: аналитический

Параметр $a$ выражается из уравнения и исследуется как функция от $x$ . Количество решений исходного уравнения при данном $a$ совпадает с числом пересечений горизонтальной прямой $y = a$ с графиком функции $g(x)$ , получившейся после выражения.

Для квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ (с коэффициентами, зависящими от $a$ ):

D = B^2 - 4AC

Два корня: $D \gt 0$ .
Один корень (кратный): $D = 0$ .
Нет вещественных корней: $D \lt 0$ .

Теорема Виета для $x^2 + px + q = 0$ :

x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 x_2 = q

Условия на знак корней: $x_1, x_2 \gt 0 \Leftrightarrow D \geq 0,\; q \gt 0,\; -p \gt 0$ .

Метод 2: графический в плоскости $xOy$

Исходное уравнение $f(x) = g(x, a)$ переписывают как пересечение двух графиков в плоскости $xOy$ : фиксированного $y = f(x)$ и подвижного семейства $y = g(x, a)$ , зависящего от параметра.

Типичные ситуации с семействами кривых:

Горизонтальная прямая $y = a$ — число пересечений с $y = f(x)$ читается с графика напрямую.
Прямые с общей точкой (пучок прямых) — все прямые семейства проходят через одну точку, и нужно понять, при каком наклоне прямая касается или пересекает кривую.
Окружность $x^2 + y^2 = 1$ пересекается с кривой из первого уравнения: число решений системы = число общих точек двух фигур.
При граничных значениях параметра кривые касаются, что даёт кратные корни — их нужно выделить отдельно.

Метод 3: графический в плоскости $xOa$

Из уравнения выражают $a = \varphi(x)$ и строят кривую в координатах $(x, a)$ , где $a$ — ось ординат, а $x$ — ось абсцисс. Горизонтальная прямая $a = \mathrm{const}$ пересекает эту кривую ровно в стольких точках, сколько решений имеет исходное уравнение при данном $a$ .

Метод особенно удобен, когда функция $\varphi(x)$ хорошо исследуется: находят экстремумы, асимптоты, монотонность и по ним определяют количество пересечений горизонталью $a = c$ .

Метод 4: симметрия и оценочные неравенства

Если функция по переменной $x$ является чётной (то есть зависит только от $|x|$ и $x^2$ ), то вместе с решением $(x_0,\, y_0)$ система имеет и решение $(-x_0,\, y_0)$ .

Следствие для единственности: чтобы система имела ровно одно решение, необходимо $x_0 = -x_0$ , то есть $x = 0$ .

После подстановки $x = 0$ находят допустимые значения $a$ и $y$ , а затем проверяют, действительно ли найденное решение единственное, используя оценочное неравенство: если при найденном $a$ из первого уравнения следует $y \geq 1$ , а из второго — $y \leq 1$ , то $y = 1$ и $x = 0$ — единственное решение.

Для отбраковки «лишних» кандидатур достаточно найти одно дополнительное решение (например, при $x = 1$ ), которое покажет, что условие единственности нарушается.

Алгоритм решения задания 18

Изучите структуру уравнения. Определите, чётная ли функция по $x$ (есть ли только $|x|$ и $x^2$ ). Если да — примените принцип симметрии.
Найдите кандидатов. Из условия на количество решений (единственность, два корня и т. д.) выведите необходимые ограничения. Для систем с симметрией — подставьте $x = 0$ и найдите все допустимые $y$ из второго уравнения.
Найдите значения параметра. Подставьте $x = 0$ и найденные $y$ в первое уравнение, выразите $a$ для каждого случая.
Проверьте каждый кандидат. Для каждого значения $a$ убедитесь, что нет посторонних решений — через оценочное неравенство (единственность) или явную проверку при $x = 1$ (наличие второго решения).
Отберите подходящие значения. Оставьте только те значения $a$ , при которых выполняется условие задачи.
Оформите ответ. Запишите ответ в виде точных значений или множества: $a \in \{1\}$ , $a \in (-\infty;\,-3) \cup (5;\,+\infty)$ и т. д.

Не получается с первого раза?

Задание 18 — одно из самых трудоёмких в ЕГЭ. На Repet.ai доступны реальные задачи с параметром из банка ФИПИ: решайте, проверяйте ответ и разбирайте каждый шаг.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Система с окружностью и симметрией (задача ФИПИ, ID 81136)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

\left\{\begin{array}{l} 6 \cdot 2^{|x|} + 7|x| + 1 = 6y + 7x^2 + a,\\ x^2 + y^2 = 1 \end{array}\right.

имеет ровно одно решение.

Решение:

Шаг 1. Замечаем симметрию. В первом уравнении переменная $x$ входит только через $|x|$ и $x^2$ , то есть уравнение чётно по $x$ . Второе уравнение $x^2 + y^2 = 1$ тоже чётно по $x$ . Следовательно, если $(x_0;\, y_0)$ — решение системы, то и $(-x_0;\, y_0)$ тоже решение. Чтобы решение было единственным, необходимо $x = 0$ .

Шаг 2. Подставляем $x = 0$ . Система принимает вид:

\left\{\begin{array}{l} 6 \cdot 2^{0} + 7 \cdot 0 + 1 = 6y + 7 \cdot 0 + a,\\ 0^2 + y^2 = 1. \end{array}\right.

Из второго уравнения: $y^2 = 1$ , откуда $y = 1$ или $y = -1$ . Первое уравнение упрощается до $7 = 6y + a$ .

Шаг 3. Находим кандидатов для $a$ .

При $y = 1$ : $7 = 6 \cdot 1 + a \Rightarrow a = 1$ . Точка $(0;\, 1)$ .

При $y = -1$ : $7 = 6 \cdot (-1) + a \Rightarrow a = 13$ . Точка $(0;\, -1)$ .

Шаг 4. Проверяем $a = 1$ . Выражаем $y$ из первого уравнения при $a = 1$ :

6y = 6 \cdot 2^{|x|} + 7|x| - 7x^2 \quad \Longrightarrow \quad y = 2^{|x|} + \frac{7|x|(1 - |x|)}{6}.

Из второго уравнения $x^2 + y^2 = 1$ следует $|x| \leq 1$ и $|y| \leq 1$ . При $|x| \leq 1$ выполнено $2^{|x|} \geq 1$ , а $1 - |x| \geq 0$ , значит дробь неотрицательна. Итого $y \geq 1$ . Объединяя с $y \leq 1$ , получаем $y = 1$ , и тогда из окружности $x^2 + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$ . Решение $(0;\, 1)$ единственное.

Шаг 5. Проверяем $a = 13$ . Выражаем $y$ :

y = 2^{|x|} + \frac{7|x|(1 - |x|)}{6} - 2.

Подставим $x = 1$ : $y = 2^1 + 0 - 2 = 0$ . Проверка по второму уравнению: $1^2 + 0^2 = 1$ — верно. Значит при $a = 13$ есть решения $(0;\,-1)$ , $(1;\,0)$ и (по симметрии) $(-1;\,0)$ — три решения. Условие единственности нарушается, значение $a = 13$ не подходит.

Ответ: $a = 1$ .

Пример 2. Система с чётной функцией и дробным параметром (задача ФИПИ, ID 81135)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

\left\{\begin{array}{l} 3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 3a,\\ x^2 + y^2 = 1 \end{array}\right.

имеет ровно одно решение.

Решение:

Шаг 1. Симметрия. В первом уравнении $x$ входит только через $|x|$ и $x^2$ , второе уравнение — окружность, симметричная по $x$ . Если $(x_0;\, y_0)$ — решение, то $(-x_0;\, y_0)$ тоже. Для единственности необходимо $x = 0$ .

Шаг 2. Подставляем $x = 0$ . Первое уравнение при $x = 0$ :

3 \cdot 2^{0} + 5 \cdot 0 + 4 = 3y + 5 \cdot 0 + 3a \quad \Longrightarrow \quad 7 = 3y + 3a.

Из второго уравнения $y^2 = 1$ , откуда $y = 1$ или $y = -1$ .

Шаг 3. Значения $a$ .

При $y = 1$ : $7 = 3 + 3a \Rightarrow 3a = 4 \Rightarrow a = \dfrac{4}{3}$ . Точка $\left(0;\,1\right)$ .

При $y = -1$ : $7 = -3 + 3a \Rightarrow 3a = 10 \Rightarrow a = \dfrac{10}{3}$ . Точка $\left(0;\,-1\right)$ .

Шаг 4. Проверяем $a = \tfrac{4}{3}$ . Первое уравнение при $a = \tfrac{4}{3}$ даёт $3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 4$ , откуда:

y = 2^{|x|} + \frac{5|x|(1 - |x|)}{3}.

Поскольку $|x| \leq 1$ (из окружности), имеем $2^{|x|} \geq 1$ и $1 - |x| \geq 0$ , значит $y \geq 1$ . Совместно с $y \leq 1$ из окружности получаем $y = 1$ , и из $x^2 + 1 = 1$ находим $x = 0$ . Решение единственное.

Шаг 5. Проверяем $a = \tfrac{10}{3}$ . Выражаем $y$ :

y = 2^{|x|} - 2 + \frac{5|x|(1 - |x|)}{3}.

При $x = 1$ : $y = 2 - 2 + 0 = 0$ . Точка $(1;\,0)$ удовлетворяет окружности $1 + 0 = 1$ . Значит при $a = \tfrac{10}{3}$ система имеет как минимум $(0;\,-1)$ , $(1;\,0)$ , $(-1;\,0)$ — три решения, условие единственности не выполняется.

Ответ: $a = \dfrac{4}{3}$ .

Типичные ошибки и ловушки

Потеря случая вырождения (например, $a = 0$ )

Когда параметр $a$ входит в коэффициент при старшей степени, при $a = 0$ уравнение вырождается (степень понижается). Этот случай нужно рассматривать отдельно, иначе возможна потеря корня или ложное решение.

Не проверены граничные значения параметра

На границах области допустимых значений (например, при значении дискриминанта, равном нулю) уравнение может иметь кратный корень. Граничные значения параметра часто дают дополнительные решения, которые нужно включить или исключить из ответа отдельной проверкой.

Забыть про ОДЗ

Если в уравнении есть логарифм, дробь или корень, у переменной $x$ появляется область допустимых значений. Корни, найденные из алгебраического уравнения, могут не удовлетворять ОДЗ — такие корни нужно отбросить, что меняет количество решений и, как следствие, ответ по параметру.

Неполный перебор случаев при симметрии

Аргумент симметрии даёт лишь необходимое условие: $x = 0$ — кандидат. Из него надо вывести потенциальные значения $a$ , а затем для каждого проверить единственность. Пропуск проверки — типичная ошибка, лишающая 1–2 балла.

Принять необходимое условие за достаточное

Нахождение значения параметра из условия $x = 0$ — это только необходимое условие единственности. Без явной проверки (через оценочное неравенство или подстановку пробного значения) нельзя утверждать, что система имеет ровно одно решение.

Проверьте себя на реальных заданиях 18

На Repet.ai собраны задачи с параметром из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

Максимум — 4 первичных балла. Оценивается по шкале 0–4: полное верное решение со всеми обоснованиями — 4 балла; верный отбор случаев без финальной проверки — 2–3 балла; отдельные верные шаги — 1 балл; неверное решение — 0.

Аналитический метод — это алгебраическое исследование уравнения: параметр a выражается через x (или наоборот), а количество решений определяется через дискриминант, знак коэффициентов, теорему Виета или монотонность. Метод точный, но требует аккуратной работы со случаями.

Из уравнения выражают a = φ(x) и строят кривую в координатах (x, a). Горизонтальная прямая a = const пересекает эту кривую ровно в стольких точках, сколько решений имеет исходное уравнение. Метод нагляден и позволяет сразу видеть, при каких a количество решений меняется.

Если все слагаемые уравнения зависят от x только через |x| и x², функция чётна: f(-x, y) = f(x, y). Тогда вместе с решением (x₀, y₀) существует и (-x₀, y₀). Чтобы решение было единственным, необходимо x₀ = -x₀, то есть x = 0. Это сужает поиск: нужно лишь найти a из условия x = 0, а затем проверить единственность.

Выразите y из первого уравнения как функцию от |x|. Используя ограничения из второго уравнения (например, |y| ≤ 1), покажите, что y ≥ 1, а значит y = 1 и x = 0 — единственное решение. Для отбраковки «лишнего» кандидата достаточно одного контрпримера — например, подставить x = 1 и убедиться, что точка (1; y) тоже лежит на окружности.

Если ответ — конечный набор значений, записывают через запятую или как множество: a = 1. Если ответ — интервал или объединение, используют стандартные обозначения: a ∈ (-∞; -3) ∪ (5; +∞). Главное — полнота: нельзя пропустить ни одного значения и нельзя лишнего включить. За неполный ответ снимается часть баллов.

30–45 минут. Это самое объёмное задание части 2. Рекомендуется браться за него после заданий 14–17: сначала набрать «лёгкие» баллы, а оставшееся время полностью посвятить задаче с параметром. Если решение не идёт — зафиксируйте частичный результат (найденные кандидаты без проверки) и переходите дальше.

Готовы покорить задачу с параметром?

Задание 18 — это вершина профильного ЕГЭ по математике: 4 балла, которые требуют понимания симметрии, оценочных неравенств и аккуратной проверки. На Repet.ai собраны реальные задачи из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и методы работы с параметром станут привычными.

Тренировать задание 18 Задание 17: планиметрия Все задания ЕГЭ по математике